三角関数例

$f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ を方程式で書きます。

$y = 3 x^{2} - 36 x + 115$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 y^{2} - 36 y + 115$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $3 y^{2} - 36 y + 115 = x$ として書き換えます。

$3 y^{2} - 36 y + 115 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$3 y^{2} - 36 y + 115 - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 3$ 、 $b = - 36$ 、および $c = 115 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (115 - x))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 3 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot 115 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.4

$- 12$ に $115$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.5

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.6

$1296$ から $1380$ を引きます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 84 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.7

$12$ を $- 84 + 12 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.7.1

$12$ を $- 84$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 \cdot - 7 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.7.2

$12$ を $12 \cdot - 7 + 12 x$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.8

$12 (- 7 + x)$ を $2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.8.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (3) (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$

ステップ 3.5.3

$\frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$ を簡約します。

$y = \frac{18 \pm \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 3 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot 115 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.4

$- 12$ に $115$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.6

$1296$ から $1380$ を引きます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 84 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.7

$12$ を $- 84 + 12 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.7.1

$12$ を $- 84$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 \cdot - 7 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.7.2

$12$ を $12 \cdot - 7 + 12 x$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.8

$12 (- 7 + x)$ を $2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.8.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (3) (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$

ステップ 3.6.3

$\frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$ を簡約します。

$y = \frac{18 \pm \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 3 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot (115 - x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 12 \cdot 115 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.4

$- 12$ に $115$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.5

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1380 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.6

$1296$ から $1380$ を引きます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 84 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.7

$12$ を $- 84 + 12 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.7.1

$12$ を $- 84$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 \cdot - 7 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.7.2

$12$ を $12 \cdot - 7 + 12 x$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{12 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.8

$12 (- 7 + x)$ を $2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.8.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (3) (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- 7 + x))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$

ステップ 3.7.3

$\frac{36 \pm 2 \sqrt{3 (- 7 + x)}}{6}$ を簡約します。

$y = \frac{18 \pm \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

$y = \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

$y = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

$y = \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ が $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[7, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\sqrt{3 (- 7 + x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$3 (- 7 + x) \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$3 (- 7 + x) \geq 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$3 (- 7 + x) \geq 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (- 7 + x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 7 + x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2.1.2

$- 7 + x$ を $1$ で割ります。

$- 7 + x \geq \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$- 7 + x \geq 0$

ステップ 5.3.2.2

不等式の両辺に $7$ を足します。

$x \geq 7$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[7, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ の定義域が $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ の範囲が $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$ は $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 115$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}, \frac{18 - \sqrt{3 (- 7 + x)}}{3}$

ステップ 6

三角関数 例

三角関数例