三角関数例

$f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$

ステップ 1

$f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ を方程式で書きます。

$y = 2 e^{x - 2} + 4$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 e^{y - 2} + 4$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $2 e^{y - 2} + 4 = x$ として書き換えます。

$2 e^{y - 2} + 4 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$2 e^{y - 2} = x - 4$

ステップ 3.3

$2 e^{y - 2} = x - 4$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2 e^{y - 2} = x - 4$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$e^{y - 2}$ を $1$ で割ります。

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 4$ を $2$ で割ります。

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} - 2$

ステップ 3.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

ステップ 3.5

左辺を展開します。

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ステップ 3.5.1

$y - 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y - 2})$ を展開します。

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

ステップ 3.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

ステップ 3.5.3

$y - 2$ に $1$ をかけます。

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

ステップ 3.6

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ が $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 e^{x - 2} + 4}{2} - 2) + 2$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$2 e^{x - 2} + 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $2 e^{x - 2}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 4}{2} - 2) + 2$

ステップ 5.2.3.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 2 \cdot 2}{2} - 2) + 2$

ステップ 5.2.3.1.3

$2$ を $2 (e^{x - 2}) + 2 (2)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2} - 2) + 2$

ステップ 5.2.3.1.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 (1)} - 2) + 2$

ステップ 5.2.3.1.4.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 \cdot 1} - 2) + 2$

ステップ 5.2.3.1.4.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{e^{x - 2} + 2}{1} - 2) + 2$

ステップ 5.2.3.1.4.4

$e^{x - 2} + 2$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 2 - 2) + 2$

ステップ 5.2.3.2

$e^{x - 2} + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 0) + 2$

ステップ 5.2.3.2.2

$e^{x - 2}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

ステップ 5.2.3.3

対数の法則を利用して指数の外に $x - 2$ を移動します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \ln (e) + 2$

ステップ 5.2.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

ステップ 5.2.3.5

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x - 2 + 2$

ステップ 5.2.4

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2)$ の値を求めます。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$

ステップ 5.3.3

$2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2) + 0} + 4$

ステップ 5.3.3.2

$\ln (\frac{x}{2} - 2)$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2)} + 4$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2} - 2) + 4$

ステップ 5.3.4.2

分配則を当てはめます。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

ステップ 5.3.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

ステップ 5.3.4.3.2

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 2 \cdot - 2 + 4$

ステップ 5.3.4.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x - 4 + 4$

ステップ 5.3.5

$x - 4 + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 0$

ステップ 5.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ は $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

三角関数 例

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