三角関数例

$y = \frac{2}{x - 1} + 1$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{2}{y - 1} + 1$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\frac{2}{y - 1} + 1 = x$ として書き換えます。

$\frac{2}{y - 1} + 1 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{2}{y - 1} = x - 1$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y - 1, 1, 1$

ステップ 2.3.2

括弧を削除します。

$y - 1, 1, 1$

ステップ 2.3.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y - 1$

ステップ 2.4

$\frac{2}{y - 1} = x - 1$ の各項に $y - 1$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{2}{y - 1} = x - 1$ の各項に $y - 1$ を掛けます。

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$2 = x (y - 1) - (y - 1)$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

分配則を当てはめます。

$2 = x y + x \cdot - 1 - (y - 1)$

ステップ 2.4.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$2 = x y - 1 \cdot x - (y - 1)$

ステップ 2.4.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 = x y - x - (y - 1)$

ステップ 2.4.3.1.4

分配則を当てはめます。

$2 = x y - x - y - - 1$

ステップ 2.4.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 = x y - x - y + 1$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

方程式を $x y - x - y + 1 = 2$ として書き換えます。

$x y - x - y + 1 = 2$

ステップ 2.5.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$x y - y + 1 = 2 + x$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x y - y = 2 + x - 1$

ステップ 2.5.2.3

$2$ から $1$ を引きます。

$x y - y = x + 1$

ステップ 2.5.3

$y$ を $x y - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y x - y = x + 1$

ステップ 2.5.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y x + y \cdot - 1 = x + 1$

ステップ 2.5.3.3

$y$ を $y x + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (x - 1) = x + 1$

ステップ 2.5.4

$y (x - 1) = x + 1$ の各項を $x - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$y (x - 1) = x + 1$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

ステップ 2.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

ステップ 2.5.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

ステップ 2.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ が $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(\frac{2}{x - 1} + 1) + 1}{(\frac{2}{x - 1} + 1) - 1}$

ステップ 4.2.3

分数の分子と分母に $x - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$\frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$

ステップ 4.2.3.2

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 + 1)}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 - 1)}$

ステップ 4.2.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.5

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.5.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.5.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.5.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.6.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.6.3

$2$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x + 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.6.4

$x$ と $x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 1 - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.6.5

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 0}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.6.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 4.2.7.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.2.7.3

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.2.7.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x + 1}$

ステップ 4.2.7.5

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - x + 1}$

ステップ 4.2.7.6

$2$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

ステップ 4.2.7.7

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

ステップ 4.2.7.8

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{1 + 1}$

ステップ 4.2.7.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.8.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x + 1}{x - 1})$ の値を求めます。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1} + 1$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 4.3.3.1.2

$- 1$ と $\frac{x - 1}{x - 1}$ をまとめます。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

ステップ 4.3.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

ステップ 4.3.3.1.4

因数分解した形で $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 4.3.3.1.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 4.3.3.1.4.3

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 4.3.3.1.4.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 4.3.3.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

ステップ 4.3.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

ステップ 4.3.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

ステップ 4.3.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x - 1 + 1$

ステップ 4.3.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ は $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

三角関数 例

三角関数例