三角関数例

$y = \log_{2} (2 x - 3)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \log_{2} (2 y - 3)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\log_{2} (2 y - 3) = x$ として書き換えます。

$\log_{2} (2 y - 3) = x$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\log_{2} (2 y - 3) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{x} = 2 y - 3$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式を $2 y - 3 = 2^{x}$ として書き換えます。

$2 y - 3 = 2^{x}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 y = 2^{x} + 3$

ステップ 2.3.3

$2 y = 2^{x} + 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$2 y = 2^{x} + 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.3.1

$2^{x}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.3.1.1

$2$ を $2^{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.3.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{2^{x - 1}}{1} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.1.2.4

$2^{x - 1}$ を $1$ で割ります。

$y = 2^{x - 1} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.2

$2^{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = 2^{x - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.3

$2^{x - 1}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2 + 3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.5

指数を足して $2^{x - 1}$ に $2$ を掛けます。

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ステップ 2.3.3.3.5.1

$2^{x - 1}$ に $2$ をかけます。

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ステップ 2.3.3.3.5.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2^{1} + 3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{2^{x - 1 + 1} + 3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.5.2

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.3.3.5.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{2^{x + 0} + 3}{2}$

ステップ 2.3.3.3.5.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{2^{x} + 3}{2}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ が $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2^{\log_{2} (2 x - 3)} + 3}{2}$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

ステップ 4.2.3.2

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 4.2.3.3

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{2^{x} + 3}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

ステップ 4.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 3 - 3)$

ステップ 4.3.4

$2^{x} + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

ステップ 4.3.4.2

$2^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x})$

ステップ 4.3.5

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \log_{2} (2)$

ステップ 4.3.6

$2$ の対数の底 $2$ は $1$ です。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \cdot 1$

ステップ 4.3.7

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ は $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

三角関数 例

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