三角関数例

$y = \frac{1}{3^{x}}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{3^{y}}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\frac{1}{3^{y}} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{3^{y}} = x$

ステップ 2.2

両辺に $3^{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

ステップ 2.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3^{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

ステップ 2.3.1.2

式を書き換えます。

$1 = x \cdot 3^{y}$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式を $x \cdot 3^{y} = 1$ として書き換えます。

$x \cdot 3^{y} = 1$

ステップ 2.4.2

$x \cdot 3^{y} = 1$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x \cdot 3^{y} = 1$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$3^{y}$ を $1$ で割ります。

$3^{y} = \frac{1}{x}$

ステップ 2.4.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{y}) = \ln (\frac{1}{x})$

ステップ 2.4.4

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{y})$ を展開します。

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$

ステップ 2.4.5

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

ステップ 2.4.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

ステップ 2.4.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ が $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{3^{x}}})}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (1 \cdot 3^{x})}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.3.2

$3^{x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.4

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.5

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}}}$

ステップ 4.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\log_{3} (\frac{1}{x})}}$

ステップ 4.3.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 4.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = 1 x$

ステップ 4.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ は $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

三角関数 例

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