三角関数例

$\tan (\arccos (5 x))$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \tan (\arccos (5 y))$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\tan (\arccos (5 y)) = x$ として書き換えます。

$\tan (\arccos (5 y)) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $\arccos (5 y)$ を取り出します。

$\arccos (5 y) = \arctan (x)$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、逆余弦の中から $y$ を取り出します。

$5 y = \cos (\arctan (x))$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\cos (\arctan (x))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

交点 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arctan (x))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ です。

$5 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 2.4.1.2

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$5 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 2.4.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 2.4.1.3.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 2.4.1.3.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

ステップ 2.4.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.4.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

ステップ 2.4.1.3.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.4.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.4.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

ステップ 2.4.1.3.6.5

簡約します。

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

ステップ 2.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 2.5.3.2

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 5}$

ステップ 2.5.3.3

$5$ を $1 + x^{2}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$ が $f (x) = \tan (\arccos (5 x))$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x)))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

ステップ 4.2.3

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\tan^{2} (\arccos (5 x)) + 1}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

ステップ 4.2.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

ステップ 4.2.5

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (\tan^{2} (\arccos (5 x)) + 1)}$

ステップ 4.2.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

ステップ 4.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sec (\arccos (5 x))}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

ステップ 4.2.7.2

交点 $(5 x, \sqrt{1^{2} - {(5 x)}^{2}})$ 、 $(5 x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (5 x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(5 x, \sqrt{1^{2} - {(5 x)}^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arccos (5 x))$ は $\frac{1}{5 x}$ です。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

ステップ 4.2.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 {(\frac{1}{5 x})}^{2}}$

ステップ 4.2.8.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.1

積の法則を $\frac{1}{5 x}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1^{2}}{{(5 x)}^{2}})}$

ステップ 4.2.8.2.2

積の法則を $5 x$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1^{2}}{5^{2} x^{2}})}$

ステップ 4.2.8.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1}{5^{2} x^{2}})}$

ステップ 4.2.8.4

$5$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1}{25 x^{2}})}$

ステップ 4.2.9

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.9.1

$5$ と $\frac{1}{25 x^{2}}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5}{25 x^{2}}}$

ステップ 4.2.9.2

今日数因数で約分することで式 $\frac{5}{25 x^{2}}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.9.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 (1)}{25 x^{2}}}$

ステップ 4.2.9.2.2

$5$ を $25 x^{2}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 (1)}{5 (5 x^{2})}}$

ステップ 4.2.9.2.3

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 \cdot 1}{5 (5 x^{2})}}$

ステップ 4.2.9.2.4

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{1}{5 x^{2}}}$

ステップ 4.2.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{5 x} \cdot (5 x^{2})$

ステップ 4.2.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 x}) \cdot x^{2}$

ステップ 4.2.12

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.12.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 (x)}) \cdot x^{2}$

ステップ 4.2.12.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 x}) \cdot x^{2}$

ステップ 4.2.12.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot x^{2}$

ステップ 4.2.13

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

ステップ 4.2.13.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

ステップ 4.2.13.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \tan (\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})))$

ステップ 4.3.3

交点 $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ 、 $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))$ は正のx軸と、原点から始まって $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})))$ は $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$ です。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

ステップ 4.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

ステップ 4.3.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

ステップ 4.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

ステップ 4.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ です。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.9.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.9.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.9.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.10

$\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ に $\frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.11

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.11.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.12

$\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ を ${(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.12.1

$(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.12.2

${(1 + x^{2})}^{2}$ から完全累乗 ${(1 + x^{2})}^{2}$ を因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.12.3

分数 $\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{{(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.13

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot (\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}))$

ステップ 4.3.14

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ と $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 4.3.15

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.15.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 4.3.15.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 4.3.16

$\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ と $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 4.3.17

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 4.3.18

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.1

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 4.3.18.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 4.3.18.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 4.3.18.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.3.18.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

ステップ 4.3.18.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3.18.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.18.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.18.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.18.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3.18.6.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3.19

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$ は $f (x) = \tan (\arccos (5 x))$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$

三角関数 例

三角関数例