三角関数例

$y = 1 + 2 \arctan (x)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 1 + 2 \arctan (y)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $1 + 2 \arctan (y) = x$ として書き換えます。

$1 + 2 \arctan (y) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \arctan (y) = x - 1$

ステップ 2.3

$2 \arctan (y) = x - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 \arctan (y) = x - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$\arctan (y)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (y) = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\arctan (y) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ が $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x) - 1}{2})$

ステップ 4.2.4

$1 + 2 \arctan (x) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x) + 0}{2})$

ステップ 4.2.4.2

$2 \arctan (x)$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

ステップ 4.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

ステップ 4.2.5.2

$\arctan (x)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

ステップ 4.2.6

関数の正切と逆正切は逆です。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$ の値を求めます。

$f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})) = 1 + 2 \arctan (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ は $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

三角関数 例

三角関数例