三角関数例

$y = \sqrt{x} - 3$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{y} - 3$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\sqrt{y} - 3 = x$ として書き換えます。

$\sqrt{y} - 3 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\sqrt{y} = x + 3$

ステップ 2.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y}}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

ステップ 2.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(x + 3)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

簡約します。

$y = {(x + 3)}^{2}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

${(x + 3)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

${(x + 3)}^{2}$ を $(x + 3) (x + 3)$ に書き換えます。

$y = (x + 3) (x + 3)$

ステップ 2.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

ステップ 2.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

ステップ 2.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

ステップ 2.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

ステップ 2.4.3.1.3.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

ステップ 2.4.3.1.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$y = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

ステップ 2.4.3.1.3.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$y = x^{2} + 6 x + 9$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$ が $f (x) = \sqrt{x} - 3$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{x} - 3)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {(\sqrt{x} - 3)}^{2} + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

${(\sqrt{x} - 3)}^{2}$ を $(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = (\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) - 3 (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.2.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.1

$\sqrt{x} \sqrt{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.1.1

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.1.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.2

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.2.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.3

$- 3$ を $\sqrt{x}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 3 \cdot \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.1.4

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 3 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} + 9 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.3.2

$- 3 \sqrt{x}$ から $3 \sqrt{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

ステップ 4.2.3.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot - 3 + 9$

ステップ 4.2.3.5

$6$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} - 18 + 9$

ステップ 4.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} - 18 + 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$- 6 \sqrt{x}$ と $6 \sqrt{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 0 + 9 - 18 + 9$

ステップ 4.2.4.1.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 9 - 18 + 9$

ステップ 4.2.4.2

$9$ から $18$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 9 + 9$

ステップ 4.2.4.3

$x - 9 + 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 0$

ステップ 4.2.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{2} + 6 x + 9)$ の値を求めます。

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} - 3$

ステップ 4.3.3

括弧を削除します。

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} - 3$

ステップ 4.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 3^{2}} - 3$

ステップ 4.3.4.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 4.3.4.1.3

多項式を書き換えます。

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - 3$

ステップ 4.3.4.1.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{{(x + 3)}^{2}} - 3$

ステップ 4.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x + 3 - 3$

ステップ 4.3.5

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x + 0$

ステップ 4.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$ は $f (x) = \sqrt{x} - 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$

三角関数 例

三角関数例