三角関数例

$y = \arcsin (5 - 3 x^{2})$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \arcsin (5 - 3 y^{2})$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$ として書き換えます。

$\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $y$ を取り出します。

$5 - 3 y^{2} = \sin (x)$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$

ステップ 2.4

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

ステップ 2.4.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{- 5}{- 3}$

ステップ 2.4.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 2.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ が $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ の値域を求めます。

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ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

ステップ 4.3

$\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3} \geq 0$

ステップ 4.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.2.1

不等式の両辺から $\frac{5}{3}$ を引きます。

$- \frac{\sin (x)}{3} \geq - \frac{5}{3}$

ステップ 4.3.2.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$- \sin (x) \geq - 5$

ステップ 4.3.2.3

$- \sin (x) \geq - 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1

$- \sin (x) \geq - 5$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 4.3.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 4.3.2.3.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) \leq \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 4.3.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.3.1

$- 5$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x) \leq 5$

ステップ 4.3.2.4

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $5$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 4.3.3

定義域はすべての実数です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ の定義域が $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ は $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 5

三角関数 例

三角関数例