三角関数例

$y = 4 x^{2} - 1$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 4 y^{2} - 1$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $4 y^{2} - 1 = x$ として書き換えます。

$4 y^{2} - 1 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 y^{2} = x + 1$

ステップ 2.3

$4 y^{2} = x + 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$4 y^{2} = x + 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{4}}$

ステップ 2.5.2

$\frac{x + 1}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (x + 1)$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.1

$x + 1$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{4}}$

ステップ 2.5.2.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 2.5.2.3

分数 $\frac{1^{2} (x + 1)}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x + 1)}$

ステップ 2.5.3

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x + 1}$

ステップ 2.5.4

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{x + 1}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ が $f (x) = 4 x^{2} - 1$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 4 x^{2} - 1$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = 4 x^{2} - 1$ の値域を求めます。

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ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 1, \infty)$

ステップ 4.3

$\frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt{x + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 1 \geq 0$

ステップ 4.3.2

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x \geq - 1$

ステップ 4.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 1, \infty)$

ステップ 4.4

$f (x) = 4 x^{2} - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ の定義域が $f (x) = 4 x^{2} - 1$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ の範囲が $f (x) = 4 x^{2} - 1$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ は $f (x) = 4 x^{2} - 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

ステップ 5

三角関数 例

三角関数例