三角関数例

$y = \sin (\sqrt{x}) + 2$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sin (\sqrt{y}) + 2$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$ として書き換えます。

$\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\sin (\sqrt{y}) = x - 2$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$\sqrt{y} = \arcsin (x - 2)$

ステップ 2.4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y}}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

ステップ 2.5

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

ステップ 2.5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

ステップ 2.5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

ステップ 2.5.2.1.2

簡約します。

$y = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ が $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin ((\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2)}^{2}$

ステップ 4.2.3

$(\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.3.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}) + 0)}^{2}$

ステップ 4.2.3.2

$\sin (\sqrt{x})$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}))}^{2}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f ({\arcsin (x - 2)}^{2})$ の値を求めます。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

ステップ 4.3.3

括弧を削除します。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

ステップ 4.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\arcsin (x - 2)) + 2$

ステップ 4.3.4.2

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x - 2 + 2$

ステップ 4.3.5

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.5.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x + 0$

ステップ 4.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ は $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

三角関数 例

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