三角関数例

$\log_{8} (x^{2} - x) > \log_{8} (42)$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log_{8} (x^{2} - x) = \log_{8} (42)$

ステップ 2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{2} - x = 42$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $42$ を引きます。

$x^{2} - x - 42 = 0$

ステップ 2.2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 42$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 42$ で、その和が $- 1$ です。

$- 7, 6$

ステップ 2.2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 7) (x + 6) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 2.2.4

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 2.2.4.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 2.2.5

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 2.2.6

最終解は $(x - 7) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 7, - 6$

ステップ 3

$\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x (x - 1)}{42} > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

両辺に $42$ を掛けます。

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1.1

$42$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

ステップ 3.2.2.1.1.1.1.2

式を書き換えます。

$x (x - 1) > 0 \cdot 42$

ステップ 3.2.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

ステップ 3.2.2.1.1.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

ステップ 3.2.2.1.1.1.3.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x > 0 \cdot 42$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x > 0 \cdot 42$

ステップ 3.2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$0$ に $42$ をかけます。

$x^{2} - x > 0$

ステップ 3.2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - x = 0$

ステップ 3.2.3.2

$x$ を $x^{2} - x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - x = 0$

ステップ 3.2.3.2.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.2.3.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$x (x - 1) = 0$

ステップ 3.2.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2.3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.2.3.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2.3.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.2.3.6

最終解は $x (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 3.2.4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 3.2.5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 3.2.5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{(- 2) ((- 2) - 1)}{42} > 0$

ステップ 3.2.5.1.3

左辺 $0.\overline{142857}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.5.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 3.2.5.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$\frac{(0.5) ((0.5) - 1)}{42} > 0$

ステップ 3.2.5.2.3

左辺 $- 0.00595238$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.2.5.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 3.2.5.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) ((4) - 1)}{42} > 0$

ステップ 3.2.5.3.3

左辺 $0.\overline{285714}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 3.2.6

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > 1$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

区間 $x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

区間 $x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\log_{8} ({(- 8)}^{2} - (- 8)) > \log_{8} (42)$

ステップ 5.1.3

左辺 $2.05664166$ は右辺 $1.79743914$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.2

区間 $- 6 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

区間 $- 6 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$\log_{8} ({(- 3)}^{2} - (- 3)) > \log_{8} (42)$

ステップ 5.2.3

左辺 $1.1949875$ は右辺 $1.79743914$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.3

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$\log_{8} ({(0.5)}^{2} - (0.5)) > \log_{8} (42)$

ステップ 5.3.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.3.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間 $1 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

区間 $1 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 5.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\log_{8} ({(4)}^{2} - (4)) > \log_{8} (42)$

ステップ 5.4.3

左辺 $1.1949875$ は右辺 $1.79743914$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.5

区間 $x > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

区間 $x > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 5.5.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\log_{8} ({(10)}^{2} - (10)) > \log_{8} (42)$

ステップ 5.5.3

左辺 $2.16395103$ は右辺 $1.79743914$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 偽

$1 < x < 7$ 偽

$x > 7$ 真

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 偽

$1 < x < 7$ 偽

$x > 7$ 真

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 6$ または $x > 7$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 6 or x > 7$

区間記号：

$(- \infty, - 6) \cup (7, \infty)$

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例