三角関数例

$\sin (x) - \cos (x) > 0$

ステップ 1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 4

分数を分解します。

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 6

$0$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) - 1 > 0 \sec (x)$

ステップ 7

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$\tan (x) - 1 > 0$

ステップ 8

不等式の両辺に $1$ を足します。

$\tan (x) > 1$

ステップ 9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x > \arctan (1)$

ステップ 10

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x > \frac{π}{4}$

ステップ 11

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 12

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 12.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 12.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 12.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 12.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 13

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 13.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 13.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 14

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

ステップ 17

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 17.1.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\sin (2) - \cos (2) > 0$

ステップ 17.1.3

左辺 $1.32544426$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 17.2

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 真

ステップ 18

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 19

三角関数 例

三角関数例