三角関数例

$x^{3} + 4 x^{2} - 45 x > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} + 4 x^{2} - 45 x = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3} + 4 x^{2} - 45 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 45 x = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (4 x) - 45 x = 0$

ステップ 2.1.3

$x$ を $- 45 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 45 = 0$

ステップ 2.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (4 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 45 = 0$

ステップ 2.1.5

$x$ を $x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 45$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 4 x - 45) = 0$

ステップ 2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 45$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 45$ で、その和が $4$ です。

$- 5, 9$

ステップ 2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((x - 5) (x + 9)) = 0$

ステップ 2.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 5) (x + 9) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 9 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 6

$x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x + 9 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 7

最終解は $x (x - 5) (x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5, - 9$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 9$

$- 9 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 12$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 12$ で置き換えます。

${(- 12)}^{3} + 4 {(- 12)}^{2} - 45 \cdot - 12 > 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 612$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.2

区間 $- 9 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 9 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{3} + 4 {(- 4)}^{2} - 45 \cdot - 4 > 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $180$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.3

区間 $0 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $0 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{3} + 4 {(2)}^{2} - 45 \cdot 2 > 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 66$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.4

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

${(8)}^{3} + 4 {(8)}^{2} - 45 \cdot 8 > 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $408$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 9$ 偽

$- 9 < x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

$x < - 9$ 偽

$- 9 < x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$- 9 < x < 0$ または $x > 5$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 9 < x < 0 or x > 5$

区間記号：

$(- 9, 0) \cup (5, \infty)$

ステップ 12

三角関数 例

三角関数例