三角関数例

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

ステップ 1

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sin (x)}{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$

ステップ 2.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.4

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 2.5

$1 + \sin (x)$ の因数は $1 + \sin (x)$ そのものです。

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.6

$1 - \sin (x)$ の因数は $1 - \sin (x)$ そのものです。

$(1 - \sin (x)) = 1 - \sin (x)$

$(1 - \sin (x))$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.7

$1 + \sin (x)$ の因数は $1 + \sin (x)$ そのものです。

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.8

$1 + \sin (x), 1 - \sin (x), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

ステップ 3

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ の各項に $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ の各項に $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ を掛けます。

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$1 - \sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

$1 - \sin (x)$ を $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ で因数分解します。

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.1.3

式を書き換えます。

$4 \sin (x) = (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.2

$1 + \sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.3

$1 + \sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1 + 1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.6

$1 + \sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.6.1

共通因数を約分します。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.6.2

式を書き換えます。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (\sin (x) - 1) (1 - \sin (x))$

ステップ 3.3.1.7

$- 1$ を $\sin (x)$ で因数分解します。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1) (1 - \sin (x))$

ステップ 3.3.1.8

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)) (1 - \sin (x))$

ステップ 3.3.1.9

$- 1$ を $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ で因数分解します。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (1 - \sin (x))$

ステップ 3.3.1.10

項を並べ替えます。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$

ステップ 3.3.1.11

$- \sin (x) + 1$ を $1$ 乗します。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} (- \sin (x) + 1))$

ステップ 3.3.1.12

$- \sin (x) + 1$ を $1$ 乗します。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} {(- \sin (x) + 1)}^{1})$

ステップ 3.3.1.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{1 + 1}$

ステップ 3.3.1.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

ステップ 3.3.1.15

$- 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ を $- {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ に書き換えます。

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

ステップ 4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sin (x)$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} = 4 \sin (x)$

ステップ 4.2

$\sin (x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $4 \sin (x)$ を引きます。

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ を $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ に書き換えます。

$(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.2.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.3.1.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.3.1.3

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.3.1.4

$\sin (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.3.2

$\sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.4

${(- \sin (x) + 1)}^{2}$ を $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ に書き換えます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - ((- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x) + 1) + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.5.2

分配則を当てはめます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.5.3

分配則を当てはめます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.6.1.2

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.6.1.2.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 (\sin (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.6.1.2.2

$\sin (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.6.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.6.1.4

$\sin^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.6.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.6.1.6

$- \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.6.1.7

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.6.2

$- \sin (x)$ から $\sin (x)$ を引きます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.7

分配則を当てはめます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - (- 2 \sin (x)) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.8.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.3

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$\sin^{2} (x)$ から $\sin^{2} (x)$ を引きます。

$1 + 2 \sin (x) + 0 + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.3.2

$1 + 2 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$1 + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.3.3

$1$ から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0 - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.3.4

$2 \sin (x) + 2 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.4

$2 \sin (x)$ と $2 \sin (x)$ をたし算します。

$4 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.5

$4 \sin (x)$ から $4 \sin (x)$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 4.3

$0 = 0$ なので、方程式は $x$ の値について常に真になります。

すべての実数

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

すべての実数

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

三角関数 例

三角関数例