三角関数例

$\sin (x) + \sin (2 x) > 0$

ステップ 1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) > 0 = 0$

ステップ 2

$\sin (x)$ を $\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$\sin (x)$ を $\sin^{1} (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 2.3

$\sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x))$ で因数分解します。

$\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$1 + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$1 + 2 \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$1 + 2 \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$1 + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $1 + 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \cos (x) = - 1$

ステップ 5.2.2

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 5.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < \frac{2 π}{3}$

$\frac{2 π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $0 < x < \frac{2 π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $0 < x < \frac{2 π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\sin (1) + \sin (2 (1)) > 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $1.75076841$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.2

区間 $\frac{2 π}{3} < x < π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $\frac{2 π}{3} < x < π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\sin (3) + \sin (2 (3)) > 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $- 0.13829549$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.3

区間 $π < x < \frac{4 π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $π < x < \frac{4 π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\sin (4) + \sin (2 (4)) > 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $0.23255575$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.4

区間 $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\sin (5) + \sin (2 (5)) > 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $- 1.50294538$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.5

区間 $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.5.1

区間 $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 7$

ステップ 9.5.2

$x$ を元の不等式の $7$ で置き換えます。

$\sin (7) + \sin (2 (7)) > 0$

ステップ 9.5.3

左辺 $1.64759395$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ 真

$\frac{2 π}{3} < x < π$ 偽

$π < x < \frac{4 π}{3}$ 真

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ 偽

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ 真

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ 真

$\frac{2 π}{3} < x < π$ 偽

$π < x < \frac{4 π}{3}$ 真

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ 偽

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$0 + 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

ステップ 11

区間をまとめます。

$π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n or 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

三角関数 例

三角関数例