三角関数例

$- \sin (4 x) > 0$

ステップ 1

$- \sin (4 x) > 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$- \sin (4 x) > 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- \sin (4 x)}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (4 x)}{1} < \frac{0}{- 1}$

ステップ 1.2.2

$\sin (4 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (4 x) < \frac{0}{- 1}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (4 x) < 0$

ステップ 2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$4 x < \arcsin (0)$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 x < 0$

ステップ 4

$4 x < 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$4 x < 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{0}{4}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x < 0$

ステップ 5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$4 x = π - 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$4 x = π + 0$

ステップ 6.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$4 x = π$

ステップ 6.2

$4 x = π$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4 x = π$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 7

$\sin (4 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $4$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 7.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 7.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 8

$\sin (4 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{4}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $0 < x < \frac{π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $0 < x < \frac{π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.39$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $0.39$ で置き換えます。

$- \sin (4 (0.39)) > 0$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 0.99994172$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$- \sin (4 (1)) > 0$

ステップ 11.2.3

左辺 $0.75680249$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < \frac{π}{4}$ 偽

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ 真

$0 < x < \frac{π}{4}$ 偽

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} < x < \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

三角関数 例

三角関数例