三角関数例

$400000 < - 2 p^{2} + 6000 p$

ステップ 1

$p$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$- 2 p^{2} + 6000 p > 400000$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$- 2 p^{2} + 6000 p = 400000$

ステップ 3

方程式の両辺から $400000$ を引きます。

$- 2 p^{2} + 6000 p - 400000 = 0$

ステップ 4

$- 2$ を $- 2 p^{2} + 6000 p - 400000$ で因数分解します。

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ステップ 4.1

$- 2$ を $6000 p$ で因数分解します。

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 400000 = 0$

ステップ 4.2

$- 2$ を $- 400000$ で因数分解します。

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

ステップ 4.3

$- 2$ を $- 2 (p^{2}) - 2 (- 3000 p)$ で因数分解します。

$- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

ステップ 4.4

$- 2$ を $- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 (200000)$ で因数分解します。

$- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$

ステップ 5

$- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 5.2.1.2

$p^{2} - 3000 p + 200000$ を $1$ で割ります。

$p^{2} - 3000 p + 200000 = \frac{0}{- 2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ を $- 2$ で割ります。

$p^{2} - 3000 p + 200000 = 0$

ステップ 6

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7

$a = 1$ 、 $b = - 3000$ 、および $c = 200000$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $p$ の値を求めます。

$\frac{3000 \pm \sqrt{{(- 3000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 200000)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 3000$ を $2$ 乗します。

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 1 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 200000$ を掛けます。

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ステップ 8.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2.2

$- 4$ に $200000$ をかけます。

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 800000}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.3

$9000000$ から $800000$ を引きます。

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{8200000}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.4

$8200000$ を $200^{2} \cdot 205$ に書き換えます。

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ステップ 8.1.4.1

$40000$ を $8200000$ で因数分解します。

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{40000 (205)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.4.2

$40000$ を $200^{2}$ に書き換えます。

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 205}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$

ステップ 8.3

$\frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$ を簡約します。

$p = 1500 \pm 100 \sqrt{205}$

ステップ 9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$p = 1500 + 100 \sqrt{205}, 1500 - 100 \sqrt{205}$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$p = 0$

ステップ 11.1.2

$p$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$400000 < - 2 {(0)}^{2} + 6000 (0)$

ステップ 11.1.3

左辺 $400000$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$p = 71$

ステップ 11.2.2

$p$ を元の不等式の $71$ で置き換えます。

$400000 < - 2 {(71)}^{2} + 6000 (71)$

ステップ 11.2.3

左辺 $400000$ は右辺 $415918$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$p = 2934$

ステップ 11.3.2

$p$ を元の不等式の $2934$ で置き換えます。

$400000 < - 2 {(2934)}^{2} + 6000 (2934)$

ステップ 11.3.3

左辺 $400000$ は右辺 $387288$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ 偽

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ 真

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ 偽

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ 偽

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ 真

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

区間記号：

$(1500 - 100 \sqrt{205}, 1500 + 100 \sqrt{205})$

ステップ 14

三角関数 例

三角関数例