三角関数例

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = {(\frac{x}{r})}^{2} + {(\frac{y}{r})}^{2}$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から ${(\frac{x}{r})}^{2}$ を引きます。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} = {(\frac{y}{r})}^{2}$

ステップ 1.2

方程式の両辺から ${(\frac{y}{r})}^{2}$ を引きます。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

ステップ 2

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

項を並べ替えます。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

ステップ 2.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

ステップ 2.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1

積の法則を $\frac{x}{r}$ に当てはめます。

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

積の法則を $\frac{y}{r}$ に当てはめます。

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = - 1$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺に $\frac{y^{2}}{r^{2}}$ を足します。

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$

ステップ 3.2

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{x^{2}}{r^{2}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{x^{2}}{r^{2}}}{1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{x^{2}}{r^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

ステップ 3.2.3.1.2

$\frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$

ステップ 3.2.3.1.3

$- 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$ を $- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}$

ステップ 3.3

両辺に $r^{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

$r^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

ステップ 3.4.1.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$(1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} = 1 r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

$r^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} = r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

ステップ 3.4.2.1.3

$r^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.3.1

$- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

ステップ 3.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

ステップ 3.4.2.1.3.3

式を書き換えます。

$x^{2} = r^{2} - y^{2}$

ステップ 3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{r^{2} - y^{2}}$

ステップ 3.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = y$ です。

$x = \pm \sqrt{(r + y) (r - y)}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

ステップ 3.5.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。