三角関数例

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

ステップ 1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

ステップ 1.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

ステップ 1.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \tan (x)$ です。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

ステップ 1.1.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

ステップ 1.1.2.3.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

ステップ 1.1.3

$2$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

ステップ 1.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

ステップ 1.1.5

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ をかけます。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} - \cot (x) = 0$

ステップ 1.1.6

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $\cos (x)$ を掛けます。

$\cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 4

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ で因数分解します。

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 6

$- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 6.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 6.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 7

$\cos (x)$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 8

方程式の両辺に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 9

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 10

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ を掛けます。

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ステップ 10.1

$\sin (x)$ と $\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 10.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 10.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 11

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 12

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$\sin (x)$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 13

$\sin (x)$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 14

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $2 \sin^{2} (x)$ を $2 (1 - \cos^{2} (x))$ で置き換えます。

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 15

各項を簡約します。

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ステップ 15.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 15.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 15.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 16

$- 2 \cos^{2} (x)$ から $\cos^{2} (x)$ を引きます。

$2 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 17

多項式を並べ替えます。

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 = 0$

ステップ 18

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- 3 \cos^{2} (x) = - 2$

ステップ 19

$- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 19.1

$- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

ステップ 19.2

左辺を簡約します。

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ステップ 19.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 19.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

ステップ 19.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 3}$

ステップ 19.3

右辺を簡約します。

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ステップ 19.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos^{2} (x) = \frac{2}{3}$

ステップ 20

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

ステップ 21

$\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 21.1

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 21.2

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 21.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 21.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 21.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 21.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 21.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 21.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 21.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 21.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 21.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 21.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 21.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 21.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 21.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 21.3.6.5

指数を求めます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 21.4

分子を簡約します。

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ステップ 21.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

ステップ 21.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 22

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 22.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 22.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 23

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 24

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 24.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$ の値を求めます。

$x = 0.6154797$

ステップ 24.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

ステップ 24.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

ステップ 24.4.2

$2 (3.14159265) - 0.6154797$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 0.6154797$

ステップ 24.4.2.2

$6.2831853$ から $0.6154797$ を引きます。

$x = 5.66770559$

ステップ 24.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 24.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 24.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 24.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 24.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 25

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

ステップ 25.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$ の値を求めます。

$x = 2.52611294$

ステップ 25.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

ステップ 25.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

ステップ 25.4.2

$2 (3.14159265) - 2.52611294$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 2.52611294$

ステップ 25.4.2.2

$6.2831853$ から $2.52611294$ を引きます。

$x = 3.75707236$

ステップ 25.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 25.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 25.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 25.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 25.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 26

すべての解をまとめます。

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 27

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

$3.75707236 + 2 π n$ と $0.6154797 + π n$ を $0.6154797 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.6154797 + π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 27.2

$2.52611294 + 2 π n$ と $2.52611294 + π n$ を $5.66770559 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 28

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$ が真にならない解を除外します。

解がありません

三角関数 例

三角関数例