三角関数例

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 - \cos^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 2

多項式を並べ替えます。

$- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$1$ を移動させます。

$- \cos^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 3.1.1.2

$- \cos^{2} (x)$ と $1$ を並べ替えます。

$1 - \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 3.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 3.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\sin^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

ステップ 3.1.3.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

ステップ 3.1.4

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x)$ に変換します。

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 4

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 - \cos^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 5

多項式を並べ替えます。

$- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

ステップ 6

$- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ を簡約します。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$1$ を移動させます。

$- \cos^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 6.1.2

$- \cos^{2} (x)$ と $1$ を並べ替えます。

$1 - \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 6.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 6.3

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\sin^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

ステップ 6.3.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

ステップ 6.4

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x)$ に変換します。

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 7

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺から $\sec^{2} (x)$ を引きます。

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) = 0$

ステップ 7.2

$\tan^{2} (x)$ と $- \sec^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\sin^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 0$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 0$

ステップ 7.4

$- 1$ を $\tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)) = 0$

ステップ 7.5

$- 1$ を $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 0$

ステップ 7.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 7.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 7.8

$\sin^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- 1 + \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 7.9

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 7.10

$- 1$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 7.11

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 7.12

$- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ を $- (1 - \sin^{2} (x))$ に書き換えます。

$- (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 7.13

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 8

$- \cos^{2} (x) = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$- \cos^{2} (x) = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 8.2.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = 0$

ステップ 9

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 10

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 10.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \pm 0$

ステップ 10.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\cos (x) = 0$

ステップ 11

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 12

右辺を簡約します。

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ステップ 12.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 13

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 14

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 14.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 14.2

分数をまとめます。

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ステップ 14.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 14.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 14.3

分子を簡約します。

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ステップ 14.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 14.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 15

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 15.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 15.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 15.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 15.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 16

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 17

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例