三角関数例

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x)}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

分数を分解します。

$\frac{\cot^{2} (x)}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cot^{2} (x)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{\cot^{2} (x)}{1} (1 \sin (x)) = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cot^{2} (x)}{1} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.5

$\cot^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cot^{2} (x) \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.6

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.7

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.8

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.8.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.8.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

ステップ 3

方程式の両辺に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

ステップ 4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\cos^{2} (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

ステップ 5

分配則を当てはめます。

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 6

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$\cos^{2} (x) = 1 + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) \sin (x)$

ステップ 8

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 8.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) = 1 - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

ステップ 8.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) = 1 - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

ステップ 8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x) = 1 - {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) = 1 - \sin^{2} (x)$

ステップ 9

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

ステップ 10

指数が等しいので、方程式の両辺の指数の底は等しくなければなりません。

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

ステップ 11

$x$ について解きます。

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ステップ 11.1

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

ステップ 11.2

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

ステップ 11.3

$x$ について $\cos (x) = \cos (x)$ を解きます。

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ステップ 11.3.1

2つの関数を等しくするために、それぞれの因数を等しくする必要があります。

$x = x$

ステップ 11.3.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 11.3.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x - x = 0$

ステップ 11.3.2.2

$x$ から $x$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 11.3.3

$0 = 0$ なので、方程式は常に真になります。

すべての実数

ステップ 11.4

$x$ について $\cos (x) = - \cos (x)$ を解きます。

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ステップ 11.4.1

$\cos (x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 11.4.1.1

方程式の両辺に $\cos (x)$ を足します。

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

ステップ 11.4.1.2

$\cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$2 \cos (x) = 0$

ステップ 11.4.2

$2 \cos (x) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.4.2.1

$2 \cos (x) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 11.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 11.4.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

ステップ 11.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 11.4.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\cos (x) = 0$

ステップ 11.4.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 11.4.4

右辺を簡約します。

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ステップ 11.4.4.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 11.4.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 11.4.6

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 11.4.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 11.4.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 11.4.6.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 11.4.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 11.4.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 11.4.6.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 11.4.6.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 11.4.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.4.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 11.4.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 11.4.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 11.4.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 11.4.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例