三角関数例

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 4 \sin (x)$

ステップ 1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$2 {(u)}^{2} + 1 = 4 (u)$

ステップ 2

方程式の両辺から $4 u$ を引きます。

$2 u^{2} + 1 - 4 u = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = 2$ 、 $b = - 4$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.2.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.3

$16$ から $8$ を引きます。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$ を簡約します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 9

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 9.1

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 10

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$

ステップ 10.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$ の値を求めます。

$x = 0.29725136$

ステップ 10.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

ステップ 10.4

$x$ について解きます。

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ステップ 10.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.29725136$

ステップ 10.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

ステップ 10.4.3

$3.14159265$ から $0.29725136$ を引きます。

$x = 2.84434129$

ステップ 10.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

すべての解をまとめます。

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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