三角関数例

$15 \cos^{2} (x) = 13 + \sin (x)$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$15 \cos^{2} (x) - 13 = \sin (x)$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $\sin (x)$ を引きます。

$15 \cos^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $15 \cos^{2} (x)$ を $15 (1 - \sin^{2} (x))$ で置き換えます。

$15 (1 - \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$15 \cdot 1 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

ステップ 3.2

$15$ に $1$ をかけます。

$15 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

ステップ 3.3

$- 1$ に $15$ をかけます。

$15 - 15 \sin^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

ステップ 4

$15$ から $13$ を引きます。

$- 15 \sin^{2} (x) + 2 - \sin (x) = 0$

ステップ 5

多項式を並べ替えます。

$- 15 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 2 = 0$

ステップ 6

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$- 15 {(u)}^{2} - (u) + 2 = 0$

ステップ 7

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- 15 u^{2} - u + 2$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ を $- 15 u^{2}$ で因数分解します。

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $- u$ で因数分解します。

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

ステップ 7.1.3

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$- (15 u^{2}) - u - 1 \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.1.4

$- 1$ を $- (15 u^{2}) - u$ で因数分解します。

$- (15 u^{2} + u) - 1 \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.1.5

$- 1$ を $- (15 u^{2} + u) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$- (15 u^{2} + u - 2) = 0$

ステップ 7.2

因数分解。

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ステップ 7.2.1

群による因数分解。

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ステップ 7.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 15 \cdot - 2 = - 30$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$- (15 u^{2} + 1 u - 2) = 0$

ステップ 7.2.1.1.2

$1$ を $- 5$ プラス $6$ に書き換える

$- (15 u^{2} + (- 5 + 6) u - 2) = 0$

ステップ 7.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

ステップ 7.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

ステップ 7.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (5 u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)) = 0$

ステップ 7.2.1.3

最大公約数 $3 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((3 u - 1) (5 u + 2)) = 0$

ステップ 7.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$

ステップ 8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 u - 1 = 0$

$5 u + 2 = 0$

ステップ 9

$3 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 9.1

$3 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 u - 1 = 0$

ステップ 9.2

$u$ について $3 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 u = 1$

ステップ 9.2.2

$3 u = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$3 u = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 9.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 9.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{3}$

ステップ 10

$5 u + 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 10.1

$5 u + 2$ が $0$ に等しいとします。

$5 u + 2 = 0$

ステップ 10.2

$u$ について $5 u + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$5 u = - 2$

ステップ 10.2.2

$5 u = - 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$5 u = - 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 2}{5}$

ステップ 10.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{2}{5}$

ステップ 11

最終解は $- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

ステップ 12

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

ステップ 13

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

$\sin (x) = - \frac{2}{5}$

ステップ 14

$\sin (x) = \frac{1}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

ステップ 14.2

右辺を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$\arcsin (\frac{1}{3})$ の値を求めます。

$x = 0.3398369$

ステップ 14.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

ステップ 14.4

$x$ について解きます。

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ステップ 14.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

ステップ 14.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

ステップ 14.4.3

$3.14159265$ から $0.3398369$ を引きます。

$x = 2.80175574$

ステップ 14.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 14.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

$\sin (x) = - \frac{2}{5}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 15.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{2}{5})$

ステップ 15.2

右辺を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$\arcsin (- \frac{2}{5})$ の値を求めます。

$x = - 0.41151684$

ステップ 15.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$

ステップ 15.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 15.4.1

$2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 15.4.2

$3.55310949$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 3.55310949$

ステップ 15.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 15.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 15.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 15.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 15.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 15.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 15.6.1

$2 π$ を $- 0.41151684$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.41151684 + 2 π$

ステップ 15.6.2

$2 π$ から $0.41151684$ を引きます。

$5.87166846$

ステップ 15.6.3

新しい角をリストします。

$x = 5.87166846$

ステップ 15.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

すべての解をまとめます。

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n, 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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