三角関数例

$- 110 \cos (x) = 40 \cos^{2} (x) + 60$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $40 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) = 60$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $60$ を引きます。

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

ステップ 2

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$10$ を $- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$10$ を $- 110 \cos (x)$ で因数分解します。

$10 (- 11 \cos (x)) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

ステップ 2.1.2

$10$ を $- 40 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) - 60 = 0$

ステップ 2.1.3

$10$ を $- 60$ で因数分解します。

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

ステップ 2.1.4

$10$ を $10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

ステップ 2.1.5

$10$ を $10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6)$ で因数分解します。

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 6) = 0$

ステップ 2.2

$u = \cos (x)$ とします。 $u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$10 (- 11 u - 4 u^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.3

群による因数分解。

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ステップ 2.3.1

項を並べ替えます。

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

ステップ 2.3.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 4 \cdot - 6 = 24$ で和が $b = - 11$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$- 11$ を $- 11 u$ で因数分解します。

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

ステップ 2.3.2.2

$- 11$ を $- 3$ プラス $- 8$ に書き換える

$10 (- 4 u^{2} + (- 3 - 8) u - 6) = 0$

ステップ 2.3.2.3

分配則を当てはめます。

$10 (- 4 u^{2} - 3 u - 8 u - 6) = 0$

ステップ 2.3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$10 ((- 4 u^{2} - 3 u) - 8 u - 6) = 0$

ステップ 2.3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$10 (u (- 4 u - 3) + 2 (- 4 u - 3)) = 0$

ステップ 2.3.4

最大公約数 $- 4 u - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$10 ((- 4 u - 3) (u + 2)) = 0$

ステップ 2.4

因数分解。

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ステップ 2.4.1

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$10 ((- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2)) = 0$

ステップ 2.4.2

不要な括弧を削除します。

$10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

ステップ 4

$- 4 \cos (x) - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$- 4 \cos (x) - 3$ が $0$ に等しいとします。

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $- 4 \cos (x) - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$- 4 \cos (x) = 3$

ステップ 4.2.2

$- 4 \cos (x) = 3$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 4 \cos (x) = 3$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$\arccos (- \frac{3}{4})$ の値を求めます。

$x = 2.4188584$

ステップ 4.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

ステップ 4.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

ステップ 4.2.6.2

$2 (3.14159265) - 2.4188584$ を簡約します。

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ステップ 4.2.6.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

ステップ 4.2.6.2.2

$6.2831853$ から $2.4188584$ を引きます。

$x = 3.8643269$

ステップ 4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\cos (x) + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cos (x) + 2$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + 2 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cos (x) + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\cos (x) = - 2$

ステップ 5.2.2

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- 2$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

最終解は $10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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