三角関数例

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.1

$\cos (x)$ と $\tan (x)$ を並べ替えます。

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

ステップ 1.1.1.2

正弦と余弦に関して $\cos (x) \tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

ステップ 1.1.1.3

共通因数を約分します。

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

ステップ 1.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 3

方程式の両辺に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 4

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 5

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 5.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 6

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 7

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

ステップ 8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 9

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ を移動させます。

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

ステップ 9.2

$\sin^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

ステップ 9.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

ステップ 9.4

$- 1$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

ステップ 9.5

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

ステップ 9.6

$- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ を $- (1 - \sin^{2} (x))$ に書き換えます。

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

ステップ 9.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

ステップ 10

$x$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 10.1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$- u^{2} + u = 0$

ステップ 10.1.2

$u$ を $- u^{2} + u$ で因数分解します。

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ステップ 10.1.2.1

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$u (- u) + u = 0$

ステップ 10.1.2.2

$u$ を $1$ 乗します。

$u (- u) + u = 0$

ステップ 10.1.2.3

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

ステップ 10.1.2.4

$u$ を $u (- u) + u \cdot 1$ で因数分解します。

$u (- u + 1) = 0$

ステップ 10.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 10.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 10.3

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.3.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 10.3.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 10.3.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 10.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.3.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 10.3.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 10.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 10.3.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 10.3.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 10.3.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 10.3.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 10.3.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 10.3.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 10.3.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10.3.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.4

$- \cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.4.1

$- \cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 10.4.2

$x$ について $- \cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \cos (x) = - 1$

ステップ 10.4.2.2

$- \cos (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.4.2.2.1

$- \cos (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 10.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 10.4.2.2.2.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 10.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.4.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\cos (x) = 1$

ステップ 10.4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 10.4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 10.4.2.4.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 10.4.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 10.4.2.6

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 10.4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10.4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.5

最終解は $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

答えをまとめます。

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ステップ 11.1

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11.2

$2 π + 2 π n$ と $2 π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ が真にならない解を除外します。

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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