三角関数例

$\csc (x) - \cot (2 x) = \tan (x)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (x)} - \cot (2 x) = \tan (x)$

ステップ 1.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (2 x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \tan (x)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3

方程式の両辺に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 4

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$1 + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 6

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.2

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.4.2

式を書き換えます。

$1 - \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.5

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\sin (x)$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

ステップ 8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9

方程式の両辺から $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ を引きます。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分数を分解します。

$1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 10.2

$\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 10.3

$\cos (2 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$1 - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 10.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 10.4.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 10.5

$\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{2} \sec (x)) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 10.5.2

$\frac{\cos (2 x)}{2}$ と $\sec (x)$ をまとめます。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 10.6

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 10.7

分数を分解します。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

ステップ 10.8

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) = 0$

ステップ 10.9

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

ステップ 11

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$1 - \frac{\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

ステップ 11.1.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$1 - \frac{\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

ステップ 11.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (x) \tan (x) = 0$

ステップ 11.1.4

$\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

ステップ 11.1.5

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cdot \cos (x)} - \sin (x) \tan (x) = 0$

ステップ 11.1.6

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 11.1.7

$- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.7.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 11.1.7.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 11.1.7.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 11.1.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = 0$

ステップ 11.1.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 12

方程式の両辺に $\cos (x)$ を掛けます。

$\cos (x) (1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 13

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 14.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 14.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$\cos (x)$ を $- \cos (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 15.1.2

$\cos (x)$ を $2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 15.1.3

共通因数を約分します。

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 15.1.4

式を書き換えます。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 15.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$\cos (x)$ を $- \cos (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 15.2.2

共通因数を約分します。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 15.2.3

式を書き換えます。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 16

$\cos (x)$ に $0$ をかけます。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 17

$\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 18

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 19

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.2

$\cos (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\cos (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.3.1

$\cos (x)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 2 - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.4.1

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.4.2

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x) - \cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.4.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.4.3.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.4.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x)) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.4.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.4.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 19.1.5

$- \sin^{2} (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) \cdot \frac{2}{2} = 0$

ステップ 19.1.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.6.1

$- \sin^{2} (x)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} + \frac{- \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

ステップ 19.1.6.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

ステップ 19.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} = 0$

ステップ 19.1.7.2

$- 2 \sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

ステップ 19.1.7.3

$- 2$ を $- 2 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

ステップ 19.1.7.4

$- 2$ を $- 2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

ステップ 19.1.7.5

$- 2$ を $- 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

ステップ 19.1.7.6

項を並べ替えます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

ステップ 19.1.7.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cdot 1 + 1}{2} = 0$

ステップ 19.1.7.8

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cos (x) - 2 + 1}{2} = 0$

ステップ 19.1.7.9

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x) - 1}{2} = 0$

ステップ 20

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

分子を0に等しくします。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 20.2

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \cos (x) = 1$

ステップ 20.2.2

$2 \cos (x) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 20.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 20.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 20.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 20.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 20.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 20.2.6

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 20.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 20.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 20.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 20.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 20.2.6.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 20.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 20.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 20.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 20.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 20.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例