三角関数例

$\csc (x) - 1 = \frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1}$

ステップ 1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1} + 1 = \csc (x)$

ステップ 2

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\cot^{2} (x)$ を $\csc^{2} (x) - 1$ で置き換えます。

$(\csc^{2} (x) - 1) + 1 = \csc (x)$

ステップ 3

$\csc^{2} (x) - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\csc^{2} (x) + 0 = \csc (x)$

ステップ 3.2

$\csc^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$\csc^{2} (x) = \csc (x)$

ステップ 4

$u$ を $\csc (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} = u$

ステップ 5

方程式の両辺から $u$ を引きます。

$u^{2} - u = 0$

ステップ 6

$u$ を $u^{2} - u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u - u = 0$

ステップ 6.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

ステップ 6.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$u (u - 1) = 0$

ステップ 7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 8

$u$ が $0$ に等しいとします。

$u = 0$

ステップ 9

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 10

最終解は $u (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 0, 1$

ステップ 11

$\csc (x)$ を $u$ に代入します。

$\csc (x) = 0, 1$

ステップ 12

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\csc (x) = 0$

$\csc (x) = 1$

ステップ 13

$\csc (x) = 0$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

余割の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 14

$\csc (x) = 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (1)$

ステップ 14.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$arccsc (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 14.3

余割関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 14.4

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 14.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 14.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 14.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 14.4.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 14.5

$\csc (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14.6

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例