三角関数例

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

ステップ 1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\cot (2 x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

ステップ 2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)}$

ステップ 2.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cot (x)$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

ステップ 2.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

ステップ 2.1.1.3.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \cot (x)}$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 2.1.3

$2$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.1.6

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.1.7

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.1.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.1.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.3

$- 1$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1 \cdot \cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.5

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.2

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をたし算します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 0 - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.6.3

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.7.2

まとめる。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.7.3

$- 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ を $- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ に書き換えます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1

$\cos^{2} (x)$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.8.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1.2.1

$\cos (x)$ を $\sin^{2} (x) (2 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.8.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.8.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.8.2

$\sin (x)$ と $\sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.2.1

$\sin (x)$ を $\cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.2.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x) \cdot (2)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cdot 2} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 2.1.8.3

$2$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 3

方程式の両辺に $\sin (2 x)$ を掛けます。

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

ステップ 4

$\sin (2 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\cos (2 x) = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

ステップ 5

分配則を当てはめます。

$\cos (2 x) = \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

ステップ 6

$\sin (2 x)$ と $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ をまとめます。

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

ステップ 7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.1.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.3

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

共通因数を約分します。

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.3.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.4

$\frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.5.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.5.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.5.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.5.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

共通因数を約分します。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 8.6.2

式を書き換えます。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.7

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

共通因数を約分します。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.7.2

$\sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 9

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

ステップ 10

$\cos (2 x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

方程式の両辺から $\cos (2 x)$ を引きます。

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

ステップ 10.2

$\cos (2 x)$ から $\cos (2 x)$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 11

$0 = 0$ なので、方程式は $x$ の値について常に真になります。

すべての実数

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

すべての実数

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

三角関数 例

三角関数例