三角関数例

$y = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{1 - \sin (y)}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1 - \sin (y), 1$

ステップ 2.2.2

括弧を削除します。

$1 - \sin (y), 1$

ステップ 2.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$1 - \sin (y)$

ステップ 2.3

$\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ の各項に $1 - \sin (y)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ の各項に $1 - \sin (y)$ を掛けます。

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$1 - \sin (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

ステップ 2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = x (1 - \sin (y))$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

分配則を当てはめます。

$1 = x \cdot 1 + x (- \sin (y))$

ステップ 2.3.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$1 = x + x (- \sin (y))$

ステップ 2.3.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = x - x \sin (y)$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式を $x - x \sin (y) = 1$ として書き換えます。

$x - x \sin (y) = 1$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- x \sin (y) = 1 - x$

ステップ 2.4.3

$- x \sin (y) = 1 - x$ の各項を $- x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$- x \sin (y) = 1 - x$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- x \sin (y)}{- x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 2.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 2.4.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 2.4.3.2.2.2

$\sin (y)$ を $1$ で割ります。

$\sin (y) = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 2.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.3.1.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.3.1.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\sin (y) = \frac{- 1 (- 1)}{- x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 2.4.3.3.1.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 2.4.3.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

ステップ 2.4.3.3.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

ステップ 2.4.3.3.1.3.2

式を書き換えます。

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + 1$

ステップ 2.5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ が $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- \frac{1}{\frac{1}{1 - \sin (x)}} + 1)$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 (1 - \sin (x))) + 1)$

ステップ 4.2.3.2

$1 - \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 - \sin (x)) + 1)$

ステップ 4.2.3.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 \cdot 1 + \sin (x) + 1)$

ステップ 4.2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

ステップ 4.2.3.5

$- - \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + 1 \sin (x) + 1)$

ステップ 4.2.3.5.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

ステップ 4.2.4

$- 1 + \sin (x) + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (0 + \sin (x))$

ステップ 4.2.4.2

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))$ の値を求めます。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - \sin (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))}$

ステップ 4.3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{x} + 1)}$

ステップ 4.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 4.3.3.3

$- - \frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{x}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 4.3.3.3.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 4.3.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1}$

ステップ 4.3.3.5

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

ステップ 4.3.3.6

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 4.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = 1 x$

ステップ 4.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ は $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

三角関数 例

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