三角関数例

$x = y^{2} - 8 y$

ステップ 1

方程式を $y^{2} - 8 y = x$ として書き換えます。

$y^{2} - 8 y = x$

ステップ 2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y^{2} - 8 y - x = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = 1$ 、 $b = - 8$ 、および $c = - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

$4$ を $64 + 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.2

$4$ を $4 \cdot 16 + 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

$4 (16 + x)$ を $2^{2} (4^{2} + x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ を簡約します。

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$4$ を $64 + 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3.2

$4$ を $4 \cdot 16 + 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

$4 (16 + x)$ を $2^{2} (4^{2} + x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ を簡約します。

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

ステップ 6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

$4$ を $64 + 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3.2

$4$ を $4 \cdot 16 + 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4

$4 (16 + x)$ を $2^{2} (4^{2} + x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ を簡約します。

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

ステップ 7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

ステップ 9

変数を入れ替えます。各式に対して方程式を作成します。

$x = 4 + \sqrt{16 + y}, x = 4 - \sqrt{16 + y}$

ステップ 10

$y$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $4 + \sqrt{16 + y} = x$ として書き換えます。

$4 + \sqrt{16 + y} = x$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$\sqrt{16 + y} = x - 4$

ステップ 10.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{16 + y}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

ステップ 10.4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{16 + y}$ を ${(16 + y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

ステップ 10.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(16 + y)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

簡約します。

$16 + y = {(x - 4)}^{2}$

ステップ 10.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1

${(x - 4)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1.1

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$16 + y = (x - 4) (x - 4)$

ステップ 10.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$16 + y = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

ステップ 10.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

ステップ 10.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

ステップ 10.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$16 + y = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

ステップ 10.4.3.1.3.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$16 + y = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

ステップ 10.4.3.1.3.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$16 + y = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

ステップ 10.4.3.1.3.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$16 + y = x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 10.5

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 16$

ステップ 10.5.2

$x^{2} - 8 x + 16 - 16$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

$16$ から $16$ を引きます。

$y = x^{2} - 8 x + 0$

ステップ 10.5.2.2

$x^{2} - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$y = x^{2} - 8 x$

ステップ 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

ステップ 12

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ が $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ を求め、それらを比較します。

ステップ 12.2

$f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$4 + \sqrt{16 + x}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[4, \infty)$

ステップ 12.2.2

$4 - \sqrt{16 + x}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 4]$

ステップ 12.2.3

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1

和集合は各区間に含まれる要素からなります。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 12.3

$4 + \sqrt{16 + x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$\sqrt{16 + x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$16 + x \geq 0$

ステップ 12.3.2

不等式の両辺から $16$ を引きます。

$x \geq - 16$

ステップ 12.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 16, \infty)$

ステップ 12.4

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ の定義域が $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ の範囲が $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ は $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

ステップ 13

三角関数 例

三角関数例