三角関数例

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$ として書き換えます。

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$

ステップ 3.2

両辺に $20 e^{y} + 15$ を掛けます。

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$20 e^{y} + 15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

ステップ 3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y} + 15)$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$x (20 e^{y} + 15)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y}) + x \cdot 15$

ステップ 3.3.2.1.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + x \cdot 15$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$15$ を $x$ の左に移動させます。

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + 15 x$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $20 x e^{y}$ を引きます。

$3 e^{y} - 8 - 20 x e^{y} = 15 x$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$3 e^{y} - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

ステップ 3.4.3

$e^{y}$ を $3 e^{y} - 20 x e^{y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$e^{y}$ を $3 e^{y}$ で因数分解します。

$e^{y} \cdot 3 - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

ステップ 3.4.3.2

$e^{y}$ を $- 20 x e^{y}$ で因数分解します。

$e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x) = 15 x + 8$

ステップ 3.4.3.3

$e^{y}$ を $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x)$ で因数分解します。

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$

ステップ 3.4.4

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ の各項を $3 - 20 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ の各項を $3 - 20 x$ で割ります。

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$3 - 20 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$e^{y}$ を $1$ で割ります。

$e^{y} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$e^{y} = \frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$

ステップ 3.4.5

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

ステップ 3.4.6

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

ステップ 3.4.6.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

ステップ 3.4.6.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ が $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

ステップ 5.2.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$5$ を $20 e^{x} + 15$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$5$ を $20 e^{x}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

ステップ 5.2.3.1.2

$5$ を $15$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

ステップ 5.2.3.1.3

$5$ を $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

ステップ 5.2.3.2

$5$ を $20 e^{x} + 15$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$5$ を $20 e^{x}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}})$

ステップ 5.2.3.2.2

$5$ を $15$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}})$

ステップ 5.2.3.2.3

$5$ を $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 (3) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.1.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 \cdot (3 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.1.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{3 (\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.2

$3$ と $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.3

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + \frac{8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8) + 8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.5

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.6

因数分解した形で $\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.6.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x}) + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.6.2

$4$ に $8$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.6.3

$8$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.6.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x}) + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.6.5

$3$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.6.6

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.6.7

$32 e^{x}$ と $9 e^{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 24 - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.6.8

$24$ から $24$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 0}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.4.6.9

$41 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

ステップ 5.2.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

$5$ を $- 20$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 (- 4) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

ステップ 5.2.5.1.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 \cdot (- 4 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

ステップ 5.2.5.1.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 4 \frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.2

$- 4$ と $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + \frac{- 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.4

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3} - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.5

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.6

因数分解した形で $\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.6.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x}) + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.6.2

$4$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.6.3

$3$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.6.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x}) - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.6.5

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.6.6

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} + 32}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.6.7

$12 e^{x}$ から $12 e^{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{0 + 9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.6.8

$0$ と $9$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.5.6.9

$9$ と $32$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{41}{4 e^{x} + 3}})$

ステップ 5.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

ステップ 5.2.7

$41$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$41$ を $41 e^{x}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 (e^{x})}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

ステップ 5.2.7.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

ステップ 5.2.7.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

ステップ 5.2.8

$4 e^{x} + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

ステップ 5.2.8.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.9

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.10

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.11

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}))$ の値を求めます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.2

$3$ と $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.3

$- 8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ を掛けます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8 \cdot \frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.4

$- 8$ と $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{- 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.6

項を並べ替えます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.7

因数分解した形で $\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.7.1

分配則を当てはめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x) + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.7.2

$15$ に $3$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.7.3

$3$ に $8$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.7.4

分配則を当てはめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 \cdot 3 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.7.5

$- 8$ に $3$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.7.6

$- 20$ に $- 8$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 + 160 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.7.7

$45 x$ と $160 x$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 24 - 24}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.7.8

$24$ から $24$ を引きます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 0}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.3.7.9

$205 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$5$ を $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

$5$ を $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}$ で因数分解します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 15}$

ステップ 5.3.4.1.2

$5$ を $15$ で因数分解します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)}$

ステップ 5.3.4.1.3

$5$ を $5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)$ で因数分解します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 3)}$

ステップ 5.3.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) + 3)}$

ステップ 5.3.4.3

$4$ と $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + 3)}$

ステップ 5.3.4.4

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ を掛けます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

ステップ 5.3.4.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

ステップ 5.3.4.6

項を並べ替えます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.4.7

因数分解した形で $\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.7.1

分配則を当てはめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x) + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.4.7.2

$15$ に $4$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.4.7.3

$4$ に $8$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.4.7.4

分配則を当てはめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 \cdot 3 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.4.7.5

$3$ に $3$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.4.7.6

$- 20$ に $3$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 - 60 x}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.4.7.7

$60 x$ から $60 x$ を引きます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{0 + 32 + 9}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.4.7.8

$0$ と $32$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{32 + 9}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.4.7.9

$32$ と $9$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{41}{- 20 x + 3})}$

ステップ 5.3.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$5$ と $\frac{41}{- 20 x + 3}$ をまとめます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{5 \cdot 41}{- 20 x + 3}}$

ステップ 5.3.5.2

$5$ に $41$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{205}{- 20 x + 3}}$

ステップ 5.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

ステップ 5.3.7

$205$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$205$ を $205 x$ で因数分解します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 (x)}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

ステップ 5.3.7.2

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

ステップ 5.3.7.3

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x}{- 20 x + 3} \cdot (- 20 x + 3)$

ステップ 5.3.8

$\frac{x}{- 20 x + 3}$ に $- 20 x + 3$ をかけます。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

ステップ 5.3.9

$- 20 x + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

ステップ 5.3.9.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ は $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

三角関数 例

三角関数例