三角関数例

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\csc (x) = 0$

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2

$\csc (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$\csc (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\csc (x) = 0$

ステップ 2.2

余割の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

$3 \cot^{2} (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3 \cot^{2} (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 \cot^{2} (x) = 1$

ステップ 3.2.2

$3 \cot^{2} (x) = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 \cot^{2} (x) = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\cot^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 3.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 3.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.2.4.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 3.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.7

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 3.2.7.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 3.2.7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.7.2.1

$arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.7.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.7.4

$π + \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.7.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.7.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.7.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 3.2.7.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.7.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 3.2.7.4.3.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 3.2.7.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.7.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.7.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.7.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2.8

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 3.2.8.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 3.2.8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.8.2.1

$arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.2.8.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

ステップ 3.2.8.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.2.8.4.1

$2 π$ に $\frac{2 π}{3} - π$ をたし算します。

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

ステップ 3.2.8.4.2

$\frac{5 π}{3}$ の結果の角度は正で $\frac{2 π}{3} - π$ と隣接します。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 3.2.8.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.8.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.8.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.8.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2.9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2.10

解をまとめます。

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ステップ 3.2.10.1

$\frac{4 π}{3} + π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2.10.2

$\frac{5 π}{3} + π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

最終解は $\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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