三角関数例

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$

ステップ 1

$a = b$ ならば、 $\cos (a) = \cos (b)$ です。

$\cos (\arccos (x) + \arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2

左辺を展開します。

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ステップ 2.1

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$x \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.2

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$x (2 x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x \cdot x - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.2.4.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.5

交点 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$2 x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.8

交点 $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ 、 $(2 x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (2 x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (2 x))$ は $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ です。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.9

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.10

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 2 x$ です。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.11

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.12

根の積の法則を使ってまとめます。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 3

右辺を展開します。

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ステップ 3.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}$

ステップ 4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

ステップ 5

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{1}{2}$

10進法形式：

$x = 0.5$

三角関数 例

三角関数例