三角関数例

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y + 24 = 0$

ステップ 1

$y$ について解きます。

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ステップ 1.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2

$a = 1$ 、 $b = - 8$ 、および $c = x^{2} + 4 x + 24$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x + 24))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x + 24)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x + 24)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.4

簡約します。

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ステップ 1.3.1.4.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.4.2

$- 4$ に $24$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 x^{2} - 16 x - 96}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.5

$64$ から $96$ を引きます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6

$4$ を $- 4 x^{2} - 16 x - 32$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6.2

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6.3

$4$ を $- 32$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (- 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (- 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6.5

$4$ を $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (- 8)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (- x^{2} - 4 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}}{2}$

ステップ 1.3.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}}{2}$ を簡約します。

$y = 4 \pm \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 1.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x + 24)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x + 24)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1.4.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4.2

$- 4$ に $24$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 x^{2} - 16 x - 96}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5

$64$ から $96$ を引きます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6

$4$ を $- 4 x^{2} - 16 x - 32$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6.2

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6.3

$4$ を $- 32$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (- 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (- 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6.5

$4$ を $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (- 8)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (- x^{2} - 4 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}}{2}$

ステップ 1.4.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}}{2}$ を簡約します。

$y = 4 \pm \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 1.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 4 + \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x + 24)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x + 24)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4.2

$- 4$ に $24$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 x^{2} - 16 x - 96}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5

$64$ から $96$ を引きます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6

$4$ を $- 4 x^{2} - 16 x - 32$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6.2

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6.3

$4$ を $- 32$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (- 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (- 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6.5

$4$ を $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (- 8)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (- x^{2} - 4 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}}{2}$

ステップ 1.5.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}}{2}$ を簡約します。

$y = 4 \pm \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 1.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 4 - \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 1.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 4 + \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}$

$y = 4 - \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}$

$y = 4 + \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}$

$y = 4 - \sqrt{- x^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

三角関数 例

三角関数例