三角関数例

$\csc (x) > 0$ , $\cot (x) < 0$

ステップ 1

余割の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$x$ について $\cot (x) < 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x < arccot (0)$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x < \frac{π}{2}$

ステップ 2.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{2}$

ステップ 2.4

$π + \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 2.4.3.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.7

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.8

$\cot (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.8.1

$\cot (x)$ の偏角を $π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.8.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 2.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.10.1

区間 $0 < x < \frac{π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.10.1.1

区間 $0 < x < \frac{π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 2.10.1.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\cot (1) < 0$

ステップ 2.10.1.3

左辺 $0.64209261$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.10.2

区間 $\frac{π}{2} < x < π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.10.2.1

区間 $\frac{π}{2} < x < π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.10.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\cot (2) < 0$

ステップ 2.10.2.3

左辺 $- 0.45765755$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.10.3

区間 $π < x < \frac{3 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.10.3.1

区間 $π < x < \frac{3 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.10.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\cot (4) < 0$

ステップ 2.10.3.3

左辺 $0.86369115$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < \frac{π}{2}$ 偽

$\frac{π}{2} < x < π$ 真

$π < x < \frac{3 π}{2}$ 偽

$0 < x < \frac{π}{2}$ 偽

$\frac{π}{2} < x < π$ 真

$π < x < \frac{3 π}{2}$ 偽

ステップ 2.11

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

Find the intersection of No solution and $\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ .

解がありません

三角関数 例

三角関数例