三角関数例

$y = 3 x^{2} - 4 x - 3$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$3 x^{2} - 4 x - 3$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = - 4$

$c = - 3$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3)}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{3}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{2}{3}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 3 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = - 3 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = - 3 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = - 3 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = - 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = - 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.6.1

$4$ を $4 \cdot 3$ で因数分解します。

$e = - 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 (3)}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$e = - 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.6.3

式を書き換えます。

$e = - 3 - \frac{4}{3}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$e = - 3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

$- 3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$e = \frac{- 3 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 1.1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 3 \cdot 3 - 4}{3}$

ステップ 1.1.1.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.5.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$e = \frac{- 9 - 4}{3}$

ステップ 1.1.1.4.2.5.2

$- 9$ から $4$ を引きます。

$e = \frac{- 13}{3}$

ステップ 1.1.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{13}{3}$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{13}{3}$ に代入します。

$3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{13}{3}$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{13}{3}$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 3$

$h = \frac{2}{3}$

$k = - \frac{13}{3}$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(\frac{2}{3}, - \frac{13}{3})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.5.3

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{12}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{2}{3}, - \frac{17}{4})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{53}{12}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(\frac{2}{3}, - \frac{13}{3})$

焦点： $(\frac{2}{3}, - \frac{17}{4})$

対称軸： $x = \frac{2}{3}$

準線： $y = - \frac{53}{12}$

方向：上に開

頂点： $(\frac{2}{3}, - \frac{13}{3})$

焦点： $(\frac{2}{3}, - \frac{17}{4})$

対称軸： $x = \frac{2}{3}$

準線： $y = - \frac{53}{12}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 3$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 3$

ステップ 2.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 3$

ステップ 2.2.1.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 3$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 3$

ステップ 2.2.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$f (0) = - 3$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 2.3

$x = 0$ における $y$ 値は $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 3$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 3$

ステップ 2.5.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 3 - 4 \cdot - 1 - 3$

ステップ 2.5.1.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = 3 + 4 - 3$

ステップ 2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$3$ と $4$ をたし算します。

$f (- 1) = 7 - 3$

ステップ 2.5.2.2

$7$ から $3$ を引きます。

$f (- 1) = 4$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 2.6

$x = - 1$ における $y$ 値は $4$ です。

$y = 4$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 3$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 3$

ステップ 2.8.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 12 - 4 \cdot 2 - 3$

ステップ 2.8.1.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 12 - 8 - 3$

ステップ 2.8.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$12$ から $8$ を引きます。

$f (2) = 4 - 3$

ステップ 2.8.2.2

$4$ から $3$ を引きます。

$f (2) = 1$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 2.9

$x = 2$ における $y$ 値は $1$ です。

$y = 1$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 3$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.11.1.1.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 3$

ステップ 2.11.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (3) = 3^{1 + 2} - 4 \cdot 3 - 3$

ステップ 2.11.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (3) = 3^{3} - 4 \cdot 3 - 3$

ステップ 2.11.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = 27 - 4 \cdot 3 - 3$

ステップ 2.11.1.3

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 27 - 12 - 3$

ステップ 2.11.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$27$ から $12$ を引きます。

$f (3) = 15 - 3$

ステップ 2.11.2.2

$15$ から $3$ を引きます。

$f (3) = 12$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 2.12

$x = 3$ における $y$ 値は $12$ です。

$y = 12$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 3 \\ \frac{2}{3} & - \frac{13}{3} \\ 2 & 1 \\ 3 & 12 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(\frac{2}{3}, - \frac{13}{3})$

焦点： $(\frac{2}{3}, - \frac{17}{4})$

対称軸： $x = \frac{2}{3}$

準線： $y = - \frac{53}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 3 \\ \frac{2}{3} & - \frac{13}{3} \\ 2 & 1 \\ 3 & 12 \end{array}$

ステップ 4

三角関数 例

三角関数例