三角関数例

$y = \sec (\frac{1}{2} x - 2 π) - 3$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

任意の $y = \sec (x)$ について、垂直漸近線が $x = \frac{π}{2} + n π$ で発生します。ここで $n$ は整数です。 $y = s e c (x)$ の基本周期 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ を使って、 $y = \sec (\frac{x}{2} - 2 π) - 3$ の垂直漸近線を求めます。 $y = a \sec (b x + c) + d$ の正割関数の内側 $b x + c$ を $- \frac{π}{2}$ と等しくし、 $y = \sec (\frac{x}{2} - 2 π) - 3$ の垂直漸近線が発生する場所を求めます。

$\frac{x}{2} - 2 π = - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.2.1.1

方程式の両辺に $2 π$ を足します。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 1.2.1.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.1.3

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

ステップ 1.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{- π + 2 π \cdot 2}{2}$

ステップ 1.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{- π + 4 π}{2}$

ステップ 1.2.1.5.2

$- π$ と $4 π$ をたし算します。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = 3 π$

ステップ 1.3

正割関数 $\frac{x}{2} - 2 π$ の中を $\frac{3 π}{2}$ と等しくします。

$\frac{x}{2} - 2 π = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.4.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.4.1.1

方程式の両辺に $2 π$ を足します。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 π$

ステップ 1.4.1.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.4.1.3

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

ステップ 1.4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π + 2 π \cdot 2}{2}$

ステップ 1.4.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π + 4 π}{2}$

ステップ 1.4.1.5.2

$3 π$ と $4 π$ をたし算します。

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{2}$

ステップ 1.4.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = 7 π$

ステップ 1.5

$y = \sec (\frac{x}{2} - 2 π) - 3$ の基本周期は $(3 π, 7 π)$ で発生し、ここで $3 π$ と $7 π$ は垂直漸近線です。

$(3 π, 7 π)$

ステップ 1.6

周期 $\frac{2 π}{| b |}$ を求め、垂直漸近線が存在する場所を求めます。垂直漸近線は半周期ごとに発生します。

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ステップ 1.6.1

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 1.6.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 1.7

$y = \sec (\frac{x}{2} - 2 π) - 3$ の垂直漸近線は $3 π$ 、 $7 π$ 、およびすべての $x = 3 π + 2 π n$ で発生し、ここで $n$ は整数です。これは期間の半分です。

$x = 3 π + 2 π n$

ステップ 1.8

正割のみに垂直漸近線があります。

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = 3 π + 2 π n$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = 3 π + 2 π n$

ステップ 2

式 $a \sec (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 2 π$

$d = - 3$

ステップ 3

関数 $s e c$ のグラフに最大値や最小値がないので、偏角の値はありません。

偏角：なし

ステップ 4

公式 $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して周期を求めます。

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ステップ 4.1

$\sec (\frac{x}{2} - 2 π)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.1.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.1.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 4.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 4.2

$- 3$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 4.2.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 4.3

三角関数の加法／減法の周期は個々の周期の最大です。

$4 π$

ステップ 5

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

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ステップ 5.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 5.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

位相シフト： $2 π \cdot 2$

ステップ 5.4

$2$ に $2$ をかけます。

位相シフト： $4 π$

ステップ 6

三角関数の特性を記載します。

偏角：なし

周期： $4 π$

位相シフト： $4 π$ （ $4 π$ の右）

垂直偏移： $- 3$

ステップ 7

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = 3 π + 2 π n$

偏角：なし

周期： $4 π$

位相シフト： $4 π$ （ $4 π$ の右）

垂直偏移： $- 3$

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例