三角関数例

$\sin (2 θ)$

ステップ 1

$\sin (2 θ)$ を展開する方法は、ド・モアブルの定理 $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ を利用することです。 $r = 1$ のとき、 $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ です。

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

ステップ 2

2項定理を使って $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ の右辺を展開します。

展開： ${(\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))}^{2}$

ステップ 3

${(\cos (θ) + i \sin (θ))}^{2}$ を $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ に書き換えます。

$(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\cos (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

ステップ 5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\cos (θ) \cos (θ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

ステップ 5.1.1.2

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

ステップ 5.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

ステップ 5.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

ステップ 5.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

ステップ 5.1.3

$i \sin (θ) (i \sin (θ))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$i$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i \sin (θ) \sin (θ)$

ステップ 5.1.3.2

$i$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i^{1} \sin (θ) \sin (θ)$

ステップ 5.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1 + 1} \sin (θ) \sin (θ)$

ステップ 5.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin (θ) \sin (θ)$

ステップ 5.1.3.5

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ))$

ステップ 5.1.3.6

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))$

ステップ 5.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1}$

ステップ 5.1.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin^{2} (θ)$

ステップ 5.1.4

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - 1 \sin^{2} (θ)$

ステップ 5.1.5

$- 1 \sin^{2} (θ)$ を $- \sin^{2} (θ)$ に書き換えます。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - \sin^{2} (θ)$

ステップ 5.2

$i \sin (θ) \cos (θ)$ の因数を並べ替えます。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

ステップ 5.3

$i \cos (θ) \sin (θ)$ と $i \cos (θ) \sin (θ)$ をたし算します。

$\cos^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

ステップ 6

$- \sin^{2} (θ)$ を移動させます。

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

ステップ 7

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

ステップ 8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

括弧を付けます。

$\cos (2 θ) + 2 i (\cos (θ) \sin (θ))$

ステップ 8.2

$2 i$ と $\cos (θ) \sin (θ)$ を並べ替えます。

$\cos (2 θ) + \cos (θ) \sin (θ) (2 i)$

ステップ 8.3

括弧を付けます。

$\cos (2 θ) + \cos (θ) (\sin (θ) \cdot 2) i$

ステップ 8.4

$\cos (θ)$ と $\sin (θ) \cdot 2$ を並べ替えます。

$\cos (2 θ) + \sin (θ) \cdot 2 \cos (θ) i$

ステップ 8.5

$\sin (θ)$ と $2$ を並べ替えます。

$\cos (2 θ) + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) i$

ステップ 8.6

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$

ステップ 9

$\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$ の因数を並べ替えます。

$\cos (2 θ) + i \sin (2 θ)$

ステップ 10

$\sin (2 θ)$ と等しい虚数部をもつ式を取り出します。虚数 $i$ を削除します。

$\sin (2 θ) = 2 \sin (θ) \cos (θ)$

三角関数 例

三角関数例