三角関数例

$(- 6, \frac{3 π}{2})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(- 6, \frac{3 π}{2})$ を結ぶ線との間の $\sin (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(- 6, 0)$ 、 $(- 6, \frac{3 π}{2})$ で三角形を描きます。

反対： $\frac{3 π}{2}$

隣接： $- 6$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{36 + {(\frac{3 π}{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $\frac{3 π}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{36 + \frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 2.2.2

積の法則を $3 π$ に当てはめます。

$\sqrt{36 + \frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{36 + \frac{9 π^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{36 + \frac{9 π^{2}}{4}}$

ステップ 2.5

$36$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{36 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 π^{2}}{4}}$

ステップ 2.6

$36$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{36 \cdot 4}{4} + \frac{9 π^{2}}{4}}$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{36 \cdot 4 + 9 π^{2}}{4}}$

ステップ 2.7.2

$36$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{144 + 9 π^{2}}{4}}$

ステップ 2.8

$\sqrt{\frac{144 + 9 π^{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{144 + 9 π^{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{144 + 9 π^{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$144 + 9 π^{2}$ を $3^{2} (16 + π^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 2.9.1.1

$9$ を $144$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (16) + 9 π^{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.9.1.2

$9$ を $9 π^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (16) + 9 (π^{2})}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.9.1.3

$9$ を $9 (16) + 9 (π^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (16 + π^{2})}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.9.1.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2} (16 + π^{2})}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.9.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.10

分母を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{2}$

ステップ 3

$\sin (θ) = \frac{反対}{斜辺}$ ゆえに $\sin (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{2}}$

ステップ 4

$\sin (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{16 + π^{2}}}$

ステップ 4.2

まとめる。

$\sin (θ) = \frac{3 π \cdot 2}{2 (3 \sqrt{16 + π^{2}})}$

ステップ 4.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{3 π \cdot 2}{2 (3 \sqrt{16 + π^{2}})}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 2}{2 (\sqrt{16 + π^{2}})}$

ステップ 4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 2}{2 \sqrt{16 + π^{2}}}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}}$

ステップ 4.5

$\frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}}}$

ステップ 4.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.6.1

$\frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}} \sqrt{16 + π^{2}}}$

ステップ 4.6.2

$\sqrt{16 + π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}} \sqrt{16 + π^{2}}}$

ステップ 4.6.3

$\sqrt{16 + π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}} \sqrt{16 + π^{2}}}$

ステップ 4.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{\sqrt{16 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{\sqrt{16 + π^{2}}}^{2}}$

ステップ 4.6.6

${\sqrt{16 + π^{2}}}^{2}$ を $16 + π^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{16 + π^{2}}$ を ${(16 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{({(16 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{(16 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{(16 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{(16 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{16 + π^{2}}$

ステップ 4.6.6.5

簡約します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{16 + π^{2}}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{16 + π^{2}} \approx 0.61766782$

三角関数 例

三角関数例