三角関数例

$\sin (4 x)$

ステップ 1

$\sin (4 x)$ を展開する方法は、ド・モアブルの定理 $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ を利用することです。 $r = 1$ のとき、 $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ です。

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

ステップ 2

2項定理を使って $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ の右辺を展開します。

展開： ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{4}$

ステップ 3

二項定理を利用します。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) (i \sin (x)) + 6 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $i \sin (x)$ に当てはめます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cos^{2} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cdot i^{2} \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4.1.3

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cdot - 1 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4.1.4

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4.1.5

積の法則を $i \sin (x)$ に当てはめます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4.1.6

$i^{2}$ を因数分解します。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4.1.7

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (- 1 \cdot i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4.1.8

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (- i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4.1.9

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) (i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

ステップ 4.1.10

積の法則を $i \sin (x)$ に当てはめます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + i^{4} \sin^{4} (x)$

ステップ 4.1.11

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.11.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (x)$

ステップ 4.1.11.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + {(- 1)}^{2} \sin^{4} (x)$

ステップ 4.1.11.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + 1 \sin^{4} (x)$

ステップ 4.1.12

$\sin^{4} (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$

ステップ 4.2

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\cos^{4} (x) + 4 i \cos^{3} (x) \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 i \cos (x) \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$

ステップ 5

$\sin (4 x)$ と等しい虚数部をもつ式を取り出します。虚数 $i$ を削除します。

$\sin (4 x) = 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$

三角関数 例

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