三角関数例

${(1 + i)}^{8}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$1^{8} + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 \cdot 1 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.3

$8$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 i + 28 \cdot 1 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.5

$28$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i + 28 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 8 i + 28 \cdot - 1 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.7

$28$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.9

$56$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 + 56 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.10

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 + 8 i - 28 + 56 (i^{2} \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.11

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 + 56 (- 1 \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.12

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 + 56 (- i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.13

$- 1$ に $56$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.14

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.15

$70$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.16

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.16.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(i^{2})}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.16.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(- 1)}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.16.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.17

$70$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.18

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.19

$56$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.20

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (i^{4} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.21

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.21.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(i^{2})}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.21.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(- 1)}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.21.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (1 i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.22

$i$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.23

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.24

$28$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.25

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (i^{4} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.26

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.26.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.26.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.26.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (1 i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.27

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{2} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.28

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot - 1 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.29

$28$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.30

$8$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 i^{7} + i^{8}$

ステップ 2.1.31

$i^{7}$ を $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.31.1

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} i^{3}) + i^{8}$

ステップ 2.1.31.2

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

ステップ 2.1.32

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.32.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

ステップ 2.1.32.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

ステップ 2.1.32.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (1 (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

ステップ 2.1.33

$i^{2} \cdot i$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{2} \cdot i) + i^{8}$

ステップ 2.1.34

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- 1 \cdot i) + i^{8}$

ステップ 2.1.35

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- i) + i^{8}$

ステップ 2.1.36

$- 1$ に $8$ をかけます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + i^{8}$

ステップ 2.1.37

$i^{8}$ を ${(i^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {(i^{4})}^{2}$

ステップ 2.1.38

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.38.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(i^{2})}^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.38.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(- 1)}^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.38.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1^{2}$

ステップ 2.1.39

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ から $28$ を引きます。

$- 27 + 8 i - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 27$ と $70$ をたし算します。

$43 + 8 i - 56 i + 56 i - 28 - 8 i + 1$

ステップ 2.2.2.2

$43$ から $28$ を引きます。

$15 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i + 1$

ステップ 2.2.2.3

$15$ と $1$ をたし算します。

$16 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i$

ステップ 2.2.3

$8 i$ から $56 i$ を引きます。

$16 - 48 i + 56 i - 8 i$

ステップ 2.2.4

$- 48 i$ と $56 i$ をたし算します。

$16 + 8 i - 8 i$

ステップ 2.2.5

$8 i$ から $8 i$ を引きます。

$16 + 0$

ステップ 2.2.6

$16$ と $0$ をたし算します。

$16$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = 16$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{0^{2} + 16^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| z | = \sqrt{0 + 16^{2}}$

ステップ 6.2

$16$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + 256}$

ステップ 6.3

$0$ と $256$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{256}$

ステップ 6.4

$256$ を $16^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{16^{2}}$

ステップ 6.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 16$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0}{16})$

ステップ 8

$\frac{0}{16}$ の逆正接が第一象限で角を作るので、角の値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 9

$θ = 0$ と $| z | = 16$ の値を代入します。

$16 (\cos (0) + i \sin (0))$

三角関数 例

三角関数例