三角関数例

${(1 + i)}^{3}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

ステップ 2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 3 \cdot 1 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

ステップ 2.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$1 + 3 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

ステップ 2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}$

ステップ 2.1.5

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 3 i + 3 \cdot - 1 + i^{3}$

ステップ 2.1.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 3 i - 3 + i^{3}$

ステップ 2.1.7

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 + 3 i - 3 + i^{2} \cdot i$

ステップ 2.1.8

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 3 i - 3 - 1 \cdot i$

ステップ 2.1.9

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 + 3 i - 3 - i$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$- 2 + 3 i - i$

ステップ 2.2.2

$3 i$ から $i$ を引きます。

$- 2 + 2 i$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = - 2$ と $b = 2$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

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ステップ 6.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 6.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

ステップ 6.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{8}$

ステップ 6.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

ステップ 6.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 6.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 2 \sqrt{2}$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{2}{- 2})$

ステップ 8

$\frac{2}{- 2}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$θ = \frac{3 π}{4}$

ステップ 9

$θ = \frac{3 π}{4}$ と $| z | = 2 \sqrt{2}$ の値を代入します。

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

三角関数 例

三角関数例