三角関数例

$7 i^{243} + 10 i^{986}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$i^{243}$ を ${(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$i^{240}$ を因数分解します。

$7 (i^{240} i^{3}) + 10 i^{986}$

ステップ 1.1.2

$i^{240}$ を ${(i^{4})}^{60}$ に書き換えます。

$7 ({(i^{4})}^{60} i^{3}) + 10 i^{986}$

ステップ 1.1.3

$i^{2}$ を因数分解します。

$7 ({(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

ステップ 1.2

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$7 ({({(i^{2})}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

ステップ 1.2.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$7 ({({(- 1)}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$7 (1^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

ステップ 1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$7 (1 (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

ステップ 1.4

$i^{2} \cdot i$ に $1$ をかけます。

$7 (i^{2} \cdot i) + 10 i^{986}$

ステップ 1.5

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$7 (- 1 \cdot i) + 10 i^{986}$

ステップ 1.6

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$7 (- i) + 10 i^{986}$

ステップ 1.7

$- 1$ に $7$ をかけます。

$- 7 i + 10 i^{986}$

ステップ 1.8

$i^{986}$ を ${(i^{4})}^{246} i^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 1.8.1

$i^{984}$ を因数分解します。

$- 7 i + 10 (i^{984} i^{2})$

ステップ 1.8.2

$i^{984}$ を ${(i^{4})}^{246}$ に書き換えます。

$- 7 i + 10 ({(i^{4})}^{246} i^{2})$

ステップ 1.9

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

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ステップ 1.9.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 7 i + 10 ({({(i^{2})}^{2})}^{246} i^{2})$

ステップ 1.9.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 7 i + 10 ({({(- 1)}^{2})}^{246} i^{2})$

ステップ 1.9.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 7 i + 10 (1^{246} i^{2})$

ステップ 1.10

1のすべての数の累乗は1です。

$- 7 i + 10 (1 i^{2})$

ステップ 1.11

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 7 i + 10 i^{2}$

ステップ 1.12

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 7 i + 10 \cdot - 1$

ステップ 1.13

$10$ に $- 1$ をかけます。

$- 7 i - 10$

ステップ 2

$- 7 i$ と $- 10$ を並べ替えます。

$- 10 - 7 i$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = - 10$ と $b = - 7$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 10)}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{49 + {(- 10)}^{2}}$

ステップ 6.2

$- 10$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{49 + 100}$

ステップ 6.3

$49$ と $100$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{149}$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- 7}{- 10})$

ステップ 8

$\frac{- 7}{- 10}$ の逆正接が第三象限で角を作るので、角の値は $3.75231861$ です。

$θ = 3.75231861$

ステップ 9

$θ = 3.75231861$ と $| z | = \sqrt{149}$ の値を代入します。

$\sqrt{149} (\cos (3.75231861) + i \sin (3.75231861))$

三角関数 例

三角関数例