三角関数例

$3 + \sqrt{3} i$

ステップ 1

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 2

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 3

$a = 3$ と $b = \sqrt{3}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}$

ステップ 4

$| z |$ を求めます。

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ステップ 4.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3^{2}}$

ステップ 4.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3^{2}}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

ステップ 4.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

ステップ 4.1.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

ステップ 4.1.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

ステップ 4.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{3 + 9}$

ステップ 4.2.2

$3$ と $9$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{12}$

ステップ 4.3

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{4 (3)}$

ステップ 4.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

ステップ 4.4

累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 2 \sqrt{3}$

ステップ 5

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 6

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ の逆正接が第一象限で角を作るので、角の値は $\frac{π}{6}$ です。

$θ = \frac{π}{6}$

ステップ 7

$θ = \frac{π}{6}$ と $| z | = 2 \sqrt{3}$ の値を代入します。

$2 \sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

三角関数 例

三角関数例