三角関数例

$5 \cos (θ) = 5 \cos (2 θ)$

ステップ 1

方程式の両辺から $5 \cos (2 θ)$ を引きます。

$5 \cos (θ) - 5 \cos (2 θ) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$5 \cos (θ) - 5 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$5 \cos (θ) - 5 (2 \cos^{2} (θ)) - 5 \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) - 5 \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.4

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5 = 0$

ステップ 3

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$5$ を $5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$5$ を $5 \cos (θ)$ で因数分解します。

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5 = 0$

ステップ 3.1.2

$5$ を $- 10 \cos^{2} (θ)$ で因数分解します。

$5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 5 = 0$

ステップ 3.1.3

$5$ を $5$ で因数分解します。

$5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1) = 0$

ステップ 3.1.4

$5$ を $5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ))$ で因数分解します。

$5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1) = 0$

ステップ 3.1.5

$5$ を $5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1)$ で因数分解します。

$5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

ステップ 3.2

$u = \cos (θ)$ とします。 $u$ を $\cos (θ)$ に代入します。

$5 (u - 2 u^{2} + 1) = 0$

ステップ 3.3

群による因数分解。

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ステップ 3.3.1

項を並べ替えます。

$5 (- 2 u^{2} + u + 1) = 0$

ステップ 3.3.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.2.1

$1$ を掛けます。

$5 (- 2 u^{2} + 1 u + 1) = 0$

ステップ 3.3.2.2

$1$ を $- 1$ プラス $2$ に書き換える

$5 (- 2 u^{2} + (- 1 + 2) u + 1) = 0$

ステップ 3.3.2.3

分配則を当てはめます。

$5 (- 2 u^{2} - 1 u + 2 u + 1) = 0$

ステップ 3.3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$5 ((- 2 u^{2} - 1 u) + 2 u + 1) = 0$

ステップ 3.3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$5 (u (- 2 u - 1) - (- 2 u - 1)) = 0$

ステップ 3.3.4

最大公約数 $- 2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$5 ((- 2 u - 1) (u - 1)) = 0$

ステップ 3.4

因数分解。

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ステップ 3.4.1

$u$ のすべての発生を $\cos (θ)$ で置き換えます。

$5 ((- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1)) = 0$

ステップ 3.4.2

不要な括弧を削除します。

$5 (- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- 2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 5

$- 2 \cos (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 5.1

$- 2 \cos (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 \cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 5.2

$θ$ について $- 2 \cos (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 2 \cos (θ) = 1$

ステップ 5.2.2

$- 2 \cos (θ) = 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 2 \cos (θ) = 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\cos (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos (θ) = \frac{1}{- 2}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$θ = \frac{4 π}{3}$

ステップ 5.2.7

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\cos (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 6.2

$θ$ について $\cos (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (θ) = 1$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (1)$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 6.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - 0$

ステップ 6.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$θ = 2 π$

ステップ 6.2.6

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.7

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $5 (- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

$θ = \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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