三角関数例

$f (x) = 3 \sin (2 x)$

ステップ 1

$f (x) = 3 \sin (2 x)$ を方程式で書きます。

$y = 3 \sin (2 x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 \sin (2 y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 \sin (2 y) = x$ として書き換えます。

$3 \sin (2 y) = x$

ステップ 3.2

$3 \sin (2 y) = x$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3 \sin (2 y) = x$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \sin (2 y)}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sin (2 y)}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sin (2 y)$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 y) = \frac{x}{3}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$2 y = \arcsin (\frac{x}{3})$

ステップ 3.4

$2 y = \arcsin (\frac{x}{3})$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 y = \arcsin (\frac{x}{3})$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$ が $f (x) = 3 \sin (2 x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 \sin (2 x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (2 x)}{3})}{2}$

ステップ 5.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (2 x)}{3})}{2}$

ステップ 5.2.3.2

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\sin (2 x))}{2}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}))$

ステップ 5.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}))$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3}))$

ステップ 5.3.4

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$ は $f (x) = 3 \sin (2 x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

三角関数 例

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