三角関数例

$f (x) = \cos^{5} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \cos^{5} (x)$ を方程式で書きます。

$y = \cos^{5} (x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \cos^{5} (y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\cos^{5} (y) = x$ として書き換えます。

$\cos^{5} (y) = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (y) = \sqrt[5]{x}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arccos (\sqrt[5]{x})$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$ が $f (x) = \cos^{5} (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\cos^{5} (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\cos^{5} (x)) = \arccos (\sqrt[5]{\cos^{5} (x)})$

ステップ 5.2.3

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\cos^{5} (x)) = \arccos (\sqrt[5]{\cos^{5} (x)})$

ステップ 5.2.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\cos^{5} (x)) = \arccos (\cos (x))$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\arccos (\sqrt[5]{x}))$ の値を求めます。

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = \cos^{5} (\arccos (\sqrt[5]{x}))$

ステップ 5.3.3

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

ステップ 5.3.4

${\sqrt[5]{x}}^{5}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x}$ を $x^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x^{\frac{5}{5}}$

ステップ 5.3.4.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x^{\frac{5}{5}}$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x$

ステップ 5.3.4.5

簡約します。

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$ は $f (x) = \cos^{5} (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$

三角関数 例

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