三角関数例

$f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{3 x}{5 x - 2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{3 y}{5 y - 2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $5 y - 2$ を掛けます。

$(5 y - 2) (x) = (\frac{3 y}{5 y - 2}) (5 y - 2)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$5 y x - 2 x = (\frac{3 y}{5 y - 2}) (5 y - 2)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$5 y - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$5 y x - 2 x = \frac{3 y}{5 y - 2} (5 y - 2)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$5 y x - 2 x = 3 y$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$5 y x - 2 x - 3 y = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$5 y x - 3 y = 2 x$

ステップ 3.4.3

$y$ を $5 y x - 3 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y$ を $5 y x$ で因数分解します。

$y (5 x) - 3 y = 2 x$

ステップ 3.4.3.2

$y$ を $- 3 y$ で因数分解します。

$y (5 x) + y \cdot - 3 = 2 x$

ステップ 3.4.3.3

$y$ を $y (5 x) + y \cdot - 3$ で因数分解します。

$y (5 x - 3) = 2 x$

ステップ 3.4.4

$y (5 x - 3) = 2 x$ の各項を $5 x - 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$y (5 x - 3) = 2 x$ の各項を $5 x - 3$ で割ります。

$\frac{y (5 x - 3)}{5 x - 3} = \frac{2 x}{5 x - 3}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$5 x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (5 x - 3)}{5 x - 3} = \frac{2 x}{5 x - 3}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 x}{5 x - 3}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$ が $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{5 x - 2})}{5 (\frac{3 x}{5 x - 2}) - 3}$

ステップ 5.2.3

$2$ と $\frac{3 x}{5 x - 2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{5 (\frac{3 x}{5 x - 2}) - 3}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$5 \frac{3 x}{5 x - 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$5$ と $\frac{3 x}{5 x - 2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{5 (3 x)}{5 x - 2} - 3}$

ステップ 5.2.4.1.2

$3$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} - 3}$

ステップ 5.2.4.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} - 3 \cdot \frac{5 x - 2}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.3

$- 3$ と $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} + \frac{- 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.5

因数分解した形で $\frac{15 x - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1

$3$ を $15 x - 3 (5 x - 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1.1

$3$ を $15 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x) - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.5.1.2

$3$ を $- 3 (5 x - 2)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x) + 3 (- (5 x - 2))}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.5.1.3

$3$ を $3 (5 x) + 3 (- (5 x - 2))$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - (5 x - 2))}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - (5 x) + 2)}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.5.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 2)}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.5.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 2)}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.5.5

$5 x$ から $5 x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.5.6

$0$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.4.6

$3$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{6}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.5

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{5 x - 2}}{\frac{6}{5 x - 2}}$

ステップ 5.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 x}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

ステップ 5.2.7

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 (x)}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

ステップ 5.2.7.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 x}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

ステップ 5.2.7.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{x}{5 x - 2} \cdot (5 x - 2)$

ステップ 5.2.8

$5 x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{x}{5 x - 2} \cdot (5 x - 2)$

ステップ 5.2.8.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{2 x}{5 x - 3})$ の値を求めます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{5 x - 3})}{5 (\frac{2 x}{5 x - 3}) - 2}$

ステップ 5.3.3

$3$ と $\frac{2 x}{5 x - 3}$ をまとめます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{5 (\frac{2 x}{5 x - 3}) - 2}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$5 \frac{2 x}{5 x - 3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

$5$ と $\frac{2 x}{5 x - 3}$ をまとめます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{5 (2 x)}{5 x - 3} - 2}$

ステップ 5.3.4.1.2

$2$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} - 2}$

ステップ 5.3.4.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ を掛けます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} - 2 \cdot \frac{5 x - 3}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.3

$- 2$ と $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ をまとめます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} + \frac{- 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.5

因数分解した形で $\frac{10 x - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

$2$ を $10 x - 2 (5 x - 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1.1

$2$ を $10 x$ で因数分解します。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x) - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.5.1.2

$2$ を $- 2 (5 x - 3)$ で因数分解します。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x) + 2 (- (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.5.1.3

$2$ を $2 (5 x) + 2 (- (5 x - 3))$ で因数分解します。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.5.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - (5 x) + 3)}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.5.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.5.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.5.5

$5 x$ から $5 x$ を引きます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.5.6

$0$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.4.6

$2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{6}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.5

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{5 x - 3}}{\frac{6}{5 x - 3}}$

ステップ 5.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

ステップ 5.3.7

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 (x)}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

ステップ 5.3.7.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

ステップ 5.3.7.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

ステップ 5.3.8

$5 x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

ステップ 5.3.8.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$ は $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$

三角関数 例

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