三角関数例

$f (x) = {\tan (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\sqrt{\tan^{1} (2 x)}$

ステップ 1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\sqrt{\tan (2 x)}$

ステップ 2

$\sqrt{\tan (2 x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\tan (2 x) \geq 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$2 x \geq \arctan (0)$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 x \geq 0$

ステップ 3.3

$2 x \geq 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 x \geq 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{0}{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x \geq 0$

ステップ 3.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$2 x = π + 0$

ステップ 3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

$π$ と $0$ をたし算します。

$2 x = π$

ステップ 3.5.2

$2 x = π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2 x = π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.6

$\tan (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 2 |}$

ステップ 3.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{π}{2}$

ステップ 3.7

$\tan (2 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.8

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.9

$\tan (2 x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.9.1

$\tan (2 x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.9.2

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.9.2.1

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 3.9.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.9.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 3.9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 3.9.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.9.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.9.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 3.9.2.3.1.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.9.2.3.1.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 3.9.2.3.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

ステップ 3.9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 3.10

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

ステップ 3.11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 3.11.1

区間 $0 < x < \frac{π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.11.1.1

区間 $0 < x < \frac{π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.39$

ステップ 3.11.1.2

$x$ を元の不等式の $0.39$ で置き換えます。

$\tan (2 (0.39)) \geq 0$

ステップ 3.11.1.3

左辺 $0.98926153$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.11.2

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.11.2.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 3.11.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\tan (2 (1)) \geq 0$

ステップ 3.11.2.3

左辺 $- 2.18503986$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.11.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < \frac{π}{4}$ 真

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ 偽

$0 < x < \frac{π}{4}$ 真

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ 偽

ステップ 3.12

解はすべての真の区間からなります。

$0 + \frac{π n}{2} \leq x < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\tan (2 x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 5.3.1.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

ステップ 5.3.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

ステップ 6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

集合の内包的記法：

${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

ステップ 7

定義域と値域を判定します。

定義域： ${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

値域：

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例